Номер 501, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 501, страница 130.

Условие.

501. a) $ \frac{x}{4x + x^2} $ И $ \frac{4}{3x + 12} $;

б) $ \frac{13x}{25 - x^2} $ И $ \frac{x - 1}{10 + 2x} $;

в) $ \frac{x - 3}{4 - x^2} $ И $ \frac{5x}{x^2 - 4} $;

г) $ \frac{2}{(x - 3)^2} $ И $ \frac{1 + x}{x^2 - 9} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы привести дроби $\frac{x}{4x + x^2}$ и $\frac{4}{3x + 12}$ к общему знаменателю, необходимо сначала разложить их знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $4x + x^2 = x(4 + x)$.

Знаменатель второй дроби: $3x + 12 = 3(x + 4)$.

Наименьшим общим знаменателем для выражений $x(x+4)$ и $3(x+4)$ является их наименьшее общее кратное, которое равно $3x(x+4)$.

Определим дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $\frac{x}{x(x+4)}$ дополнительный множитель — $3$. Для второй дроби $\frac{4}{3(x+4)}$ дополнительный множитель — $x$.

Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{x}{4x + x^2} = \frac{x \cdot 3}{x(x+4) \cdot 3} = \frac{3x}{3x(x+4)}$

$\frac{4}{3x + 12} = \frac{4 \cdot x}{3(x+4) \cdot x} = \frac{4x}{3x(x+4)}$

Ответ: $\frac{3x}{3x(x+4)}$ и $\frac{4x}{3x(x+4)}$.

б) Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{13x}{25 - x^2}$ и $\frac{x-1}{10 + 2x}$. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $25 - x^2 = (5-x)(5+x)$.

Знаменатель второй дроби, вынося общий множитель за скобки: $10 + 2x = 2(5+x)$.

Наименьший общий знаменатель для $(5-x)(5+x)$ и $2(5+x)$ равен $2(5-x)(5+x) = 2(25-x^2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{13x}{(5-x)(5+x)}$ — это $2$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{x-1}{2(5+x)}$ — это $(5-x)$.

Выполним преобразование дробей:

$\frac{13x}{25 - x^2} = \frac{13x \cdot 2}{(5-x)(5+x) \cdot 2} = \frac{26x}{2(25-x^2)}$

$\frac{x-1}{10 + 2x} = \frac{(x-1)(5-x)}{2(5+x)(5-x)} = \frac{5x-x^2-5+x}{2(25-x^2)} = \frac{-x^2+6x-5}{2(25-x^2)}$

Ответ: $\frac{26x}{2(25-x^2)}$ и $\frac{-x^2+6x-5}{2(25-x^2)}$.

в) Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{x-3}{4 - x^2}$ и $\frac{5x}{x^2 - 4}$. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $4 - x^2 = (2-x)(2+x)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Заметим, что множители $(2-x)$ и $(x-2)$ отличаются только знаком: $2-x = -(x-2)$. Поэтому мы можем записать $4 - x^2 = -(x-2)(x+2) = -(x^2-4)$.

В качестве общего знаменателя удобно выбрать $x^2-4$. Тогда первую дробь нужно домножить на $-1$.

$\frac{x-3}{4 - x^2} = \frac{x-3}{-(x^2-4)} = \frac{-(x-3)}{x^2-4} = \frac{3-x}{x^2-4}$

Вторая дробь $\frac{5x}{x^2 - 4}$ уже имеет нужный знаменатель.

Ответ: $\frac{3-x}{x^2-4}$ и $\frac{5x}{x^2-4}$.

г) Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{2}{(x - 3)^2}$ и $\frac{1+x}{x^2 - 9}$. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби уже представлен в виде множителей: $(x-3)^2 = (x-3)(x-3)$.

Знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Наименьший общий знаменатель для $(x-3)^2$ и $(x-3)(x+3)$ должен содержать каждый множитель в наивысшей встречающейся степени, то есть он равен $(x-3)^2(x+3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2}{(x-3)^2}$ равен $(x+3)$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1+x}{(x-3)(x+3)}$ равен $(x-3)$.

Преобразуем дроби:

$\frac{2}{(x-3)^2} = \frac{2(x+3)}{(x-3)^2(x+3)} = \frac{2x+6}{(x-3)^2(x+3)}$

$\frac{1+x}{x^2 - 9} = \frac{(1+x)(x-3)}{(x-3)(x+3)(x-3)} = \frac{x-3+x^2-3x}{(x-3)^2(x+3)} = \frac{x^2-2x-3}{(x-3)^2(x+3)}$

Ответ: $\frac{2x+6}{(x-3)^2(x+3)}$ и $\frac{x^2-2x-3}{(x-3)^2(x+3)}$.