Номер 548, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 548, страница 142.

Условие.

548. Найдите значение выражения:

а) $\frac{4 - x^2}{2 + x}$ при $x = 1,04;

б) $\frac{a^2b - ab^2}{a - b}$ при $a = 2,5, b = \frac{1}{25};

в) $\frac{9m^2 + 6mn + n^2}{3m + n}$ при $m = \frac{1}{3}, n = -5;

г) $\frac{a^3 - p^3}{p - a}$ при $a = -\frac{1}{3}, p = -3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{4-x^2}{2+x}$ при $x=1,04$, сначала упростим его. Числитель $4-x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$4-x^2 = 2^2 - x^2 = (2-x)(2+x)$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{(2-x)(2+x)}{2+x}$.
Так как $x=1,04$, знаменатель $2+x = 2+1,04 = 3,04 \neq 0$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(2+x)$.
Получаем упрощенное выражение: $2-x$.
Теперь подставим значение $x=1,04$ в упрощенное выражение:
$2 - 1,04 = 0,96$.
Ответ: 0,96

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{a^2b - ab^2}{a - b}$ при $a=2,5$ и $b=\frac{1}{25}$, сначала упростим его. В числителе вынесем общий множитель $ab$ за скобки:
$a^2b - ab^2 = ab(a-b)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{ab(a-b)}{a-b}$.
Так как $a \neq b$, мы можем сократить дробь на $(a-b)$.
Получаем упрощенное выражение: $ab$.
Теперь подставим значения $a=2,5$ и $b=\frac{1}{25}$. Удобно представить $2,5$ как десятичную дробь $\frac{5}{2}$ или $\frac{25}{10}$.
$ab = 2,5 \cdot \frac{1}{25} = \frac{2,5}{25} = 0,1$.
Или в обыкновенных дробях:
$ab = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{5}{2 \cdot 25} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: 0,1

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{9m^2+6mn+n^2}{3m+n}$ при $m=\frac{1}{3}$ и $n=-5$, сначала упростим его. Числитель $9m^2+6mn+n^2$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$9m^2+6mn+n^2 = (3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot n + n^2 = (3m+n)^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{(3m+n)^2}{3m+n}$.
Проверим, не равен ли знаменатель нулю: $3m+n = 3 \cdot \frac{1}{3} + (-5) = 1-5 = -4 \neq 0$. Значит, мы можем сократить дробь на $(3m+n)$.
Получаем упрощенное выражение: $3m+n$.
Подставим значения $m$ и $n$:
$3 \cdot \frac{1}{3} + (-5) = 1 - 5 = -4$.
Ответ: -4

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{a^3-p^3}{p-a}$ при $a=-\frac{1}{3}$ и $p=-3$, сначала упростим его. Числитель $a^3-p^3$ — это разность кубов, которая раскладывается по формуле $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
$a^3-p^3=(a-p)(a^2+ap+p^2)$.
Знаменатель $p-a$ можно записать как $-(a-p)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(a-p)(a^2+ap+p^2)}{-(a-p)}$.
Так как $a \neq p$, мы можем сократить дробь на $(a-p)$.
Получаем упрощенное выражение: $-(a^2+ap+p^2)$.
Теперь подставим значения $a=-\frac{1}{3}$ и $p=-3$ в упрощенное выражение:
$-( (-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{1}{3})(-3) + (-3)^2 ) = -(\frac{1}{9} + 1 + 9) = -(\frac{1}{9} + 10) = -10\frac{1}{9}$.
Можно также представить ответ в виде неправильной дроби: $-10\frac{1}{9} = -\frac{10 \cdot 9 + 1}{9} = -\frac{91}{9}$.
Ответ: $-10\frac{1}{9}$