Номер 545, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 545, страница 141.

Условие.

545. Запишите алгебраическую дробь, значение которой равно нулю при x, равном:

а) 3;

б) -2;

в) 0,5;

г) $\frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Общий принцип решения: значение алгебраической дроби $\frac{A}{B}$ равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель $A$ равен нулю, а знаменатель $B$ не равен нулю.

а)

Требуется найти дробь, которая равна нулю при $x = 3$. Для этого числитель дроби должен обращаться в ноль при $x = 3$. Самый простой многочлен, который равен нулю при $x=3$ — это $x - 3$. Знаменатель при $x = 3$ не должен быть равен нулю. Можно выбрать любое число, не равное нулю (например, 1, 2, 5), или любое выражение, которое не обращается в ноль при $x=3$ (например, $x$ или $x+1$). Возьмем в качестве знаменателя число 5. Получаем дробь: $\frac{x-3}{5}$. Проверка: при $x=3$ значение дроби равно $\frac{3-3}{5} = \frac{0}{5} = 0$.

Ответ: $\frac{x-3}{5}$

б)

Требуется найти дробь, которая равна нулю при $x = -2$. Числитель должен быть равен нулю при $x = -2$. Для этого подходит выражение $x - (-2)$, то есть $x + 2$. Знаменатель не должен быть равен нулю при $x = -2$. Возьмем в качестве знаменателя константу, например, 10. Получаем дробь: $\frac{x+2}{10}$. Проверка: при $x=-2$ значение дроби равно $\frac{-2+2}{10} = \frac{0}{10} = 0$.

Ответ: $\frac{x+2}{10}$

в)

Требуется найти дробь, которая равна нулю при $x = 0,5$. Числитель должен обращаться в ноль при $x = 0,5$. Возьмем выражение $x - 0,5$. Чтобы получить целые коэффициенты, умножим это выражение на 2: $2(x - 0,5) = 2x - 1$. Этот числитель равен нулю при $x = 0,5$. Знаменатель не должен быть равен нулю при $x = 0,5$. Возьмем в качестве знаменателя, например, выражение $x+1$. При $x=0,5$, знаменатель равен $0,5 + 1 = 1,5 \neq 0$. Получаем дробь: $\frac{2x-1}{x+1}$. Проверка: при $x=0,5$ значение дроби равно $\frac{2 \cdot 0,5 - 1}{0,5 + 1} = \frac{1 - 1}{1,5} = \frac{0}{1,5} = 0$.

Ответ: $\frac{2x-1}{x+1}$

г)

Требуется найти дробь, которая равна нулю при $x = \frac{1}{3}$. Числитель должен обращаться в ноль при $x = \frac{1}{3}$. Возьмем выражение $x - \frac{1}{3}$. Чтобы получить целые коэффициенты, умножим это выражение на 3: $3(x - \frac{1}{3}) = 3x - 1$. Этот числитель равен нулю при $x = \frac{1}{3}$. Знаменатель не должен быть равен нулю при $x = \frac{1}{3}$. Возьмем в качестве знаменателя, например, переменную $x$. При $x = \frac{1}{3}$, знаменатель не равен нулю. Получаем дробь: $\frac{3x-1}{x}$. Проверка: при $x=\frac{1}{3}$ значение дроби равно $\frac{3 \cdot \frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3}} = \frac{1 - 1}{\frac{1}{3}} = \frac{0}{\frac{1}{3}} = 0$.

Ответ: $\frac{3x-1}{x}$