Номер 561, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 561, страница 144.

Условие.

561. Докажите, что для любых чисел x и y верно неравенство:

a) $ \frac{3}{x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13} \le 1 $;

б) $ \frac{5}{x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30} \le 1 $.

Определите, при каких значениях x и y левая часть неравенства равна правой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Чтобы доказать неравенство $\frac{3}{x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13} \le 1$, преобразуем его знаменатель, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Знаменатель: $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13$.
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 13$.
Дополним каждую группу до полного квадрата, используя формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
Для $x$: $x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$, нужно добавить и вычесть $3^2 = 9$.
Для $y$: $y^2 + 2y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат $(y+1)^2 = y^2 + 2y + 1$, нужно добавить и вычесть $1^2 = 1$.
Преобразуем выражение: $(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + 13 = (x-3)^2 + (y+1)^2 + 3$.
Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде: $\frac{3}{(x-3)^2 + (y+1)^2 + 3} \le 1$.
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x-3)^2 \ge 0$ и $(y+1)^2 \ge 0$.
Следовательно, их сумма $(x-3)^2 + (y+1)^2 \ge 0$.
Тогда знаменатель дроби $(x-3)^2 + (y+1)^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3$.
Знаменатель дроби всегда положителен и не меньше 3. Поскольку числитель равен 3, то вся дробь будет меньше или равна $\frac{3}{3} = 1$. Неравенство доказано.

Теперь определим, при каких значениях $x$ и $y$ левая часть неравенства равна правой, то есть $\frac{3}{(x-3)^2 + (y+1)^2 + 3} = 1$.
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда знаменатель равен 3:
$(x-3)^2 + (y+1)^2 + 3 = 3$
$(x-3)^2 + (y+1)^2 = 0$
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю:
$(x-3)^2 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$.
$(y+1)^2 = 0 \implies y + 1 = 0 \implies y = -1$.
Следовательно, равенство достигается при $x=3$ и $y=-1$.
Ответ: равенство достигается при $x=3$ и $y=-1$.

б) Чтобы доказать неравенство $\frac{5}{x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30} \le 1$, так же, как и в предыдущем пункте, преобразуем знаменатель, выделив полные квадраты.
Знаменатель: $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 8x) + (y^2 - 6y) + 30$.
Дополним до полных квадратов:
Для $x$: $x^2 + 8x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4$. Чтобы получить $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$, нужно добавить и вычесть $4^2 = 16$.
Для $y$: $y^2 - 6y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3$. Чтобы получить $(y-3)^2 = y^2 - 6y + 9$, нужно добавить и вычесть $3^2 = 9$.
Преобразуем выражение: $(x^2 + 8x + 16) - 16 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 30 = (x+4)^2 + (y-3)^2 + 5$.
Исходное неравенство принимает вид: $\frac{5}{(x+4)^2 + (y-3)^2 + 5} \le 1$.
Поскольку $(x+4)^2 \ge 0$ и $(y-3)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, их сумма также неотрицательна: $(x+4)^2 + (y-3)^2 \ge 0$.
Значит, знаменатель $(x+4)^2 + (y-3)^2 + 5 \ge 0 + 5 = 5$.
Так как знаменатель всегда больше или равен 5, а числитель равен 5, то значение дроби не превышает $\frac{5}{5} = 1$. Неравенство доказано.

Определим, при каких значениях $x$ и $y$ достигается равенство: $\frac{5}{(x+4)^2 + (y-3)^2 + 5} = 1$.
Равенство имеет место, когда знаменатель равен 5:
$(x+4)^2 + (y-3)^2 + 5 = 5$
$(x+4)^2 + (y-3)^2 = 0$
Это возможно только если оба слагаемых равны нулю:
$(x+4)^2 = 0 \implies x + 4 = 0 \implies x = -4$.
$(y-3)^2 = 0 \implies y - 3 = 0 \implies y = 3$.
Таким образом, равенство достигается при $x=-4$ и $y=3$.
Ответ: равенство достигается при $x=-4$ и $y=3$.