Номер 568, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 568, страница 147.

Условие.

568. a) $\frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(b - c)(c - a)} + \frac{1}{(a - c)(b - a)} = 0;$

б) $\frac{1}{(a - b)(a - c)} + \frac{1}{(b - a)(b - c)} + \frac{1}{(c - a)(c - b)} = 0;$

В) $\frac{a^4 - b^4}{((a + b)^2 - 4ab)((a - b)^2 + 4ab)((a + b)^2 - 2ab)} = \frac{1}{a^2 - b^2} \cdot$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

В условии данного тождества, по всей видимости, допущена опечатка. В исходном виде левая часть выражения $\frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(b - c)(c - a)} + \frac{1}{(c - a)(b - a)}$ после приведения к общему знаменателю равна $\frac{2(c-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$, что не равно нулю (за исключением случая $b=c$, когда знаменатели обращаются в ноль). Наиболее вероятная форма тождества, которая часто встречается в задачах, содержит множитель $(a-b)$ в знаменателе последней дроби вместо $(b-a)$. Докажем исправленное тождество:

$\frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} = 0$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(a-b)(b-c)(c-a)$:

$\frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Теперь сложим числители дробей:

$\frac{(c-a)+(a-b)+(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{c-a+a-b+b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0$

Левая часть равна нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество верно при условии исправления опечатки в знаменателе третьего слагаемого с $(c-a)(b-a)$ на $(c-a)(a-b)$.

б)

Преобразуем левую часть выражения $\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-a)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)}$, используя тождества $b-a = -(a-b)$, $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$:

$\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{-(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a-c)(b-c)$:

$\frac{b-c}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{a-c}{(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Сложим числители:

$\frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 0$

Левая часть равна правой, что доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Рассмотрим левую часть тождества $\frac{a^4 - b^4}{((a+b)^2 - 4ab)((a-b)^2 + 4ab)((a+b)^2 - 2ab)}$. Сначала упростим выражение в знаменателе. Раскроем скобки в каждом из трех множителей, используя формулы сокращенного умножения:

Первый множитель: $(a+b)^2 - 4ab = a^2+2ab+b^2 - 4ab = a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

Второй множитель: $(a-b)^2 + 4ab = a^2-2ab+b^2 + 4ab = a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.

Третий множитель: $(a+b)^2 - 2ab = a^2+2ab+b^2 - 2ab = a^2+b^2$.

Следовательно, знаменатель равен произведению: $(a-b)^2 (a+b)^2 (a^2+b^2)$. Его можно сгруппировать, используя формулу разности квадратов: $((a-b)(a+b))^2 (a^2+b^2) = (a^2-b^2)^2 (a^2+b^2)$.

Теперь упростим числитель, также применив формулу разности квадратов:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)^2(a^2+b^2)}$

Сократим общие множители $(a^2-b^2)$ и $(a^2+b^2)$ (при условии, что они не равны нулю, т.е. $a \ne \pm b$):

$\frac{\cancel{(a^2-b^2)}\cancel{(a^2+b^2)}}{(a^2-b^2)^{\cancel{2}}\cancel{(a^2+b^2)}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$

Полученное выражение равно правой части исходного тождества, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.