Номер 570, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.1. Понятие степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 570, страница 150.

Условие.

570. a) Что понимают под $a^0$, если $a \ne 0$?

б) Что понимают под $a^{-m}$, если $a \ne 0$ и $m$ — натуральное число?

в) Что называют степенью с целым показателем?

г) Имеет ли смысл выражение: $0^5$; $0^0$; $0^{-5}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Под степенью числа $a$ с нулевым показателем (при условии, что $a \neq 0$), то есть под выражением $a^0$, понимают число 1. Это определение вводится для сохранения свойств степеней. Например, для свойства частного степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Если положить $m=n$, то получим $a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$. С другой стороны, частное любого числа, не равного нулю, на само себя равно 1. Следовательно, принимается, что $a^0 = 1$.
Ответ: Под $a^0$ (при $a \neq 0$) понимают число 1.

б) Под степенью числа $a$ с целым отрицательным показателем $-m$ (где $a \neq 0$ и $m$ — натуральное число), то есть под выражением $a^{-m}$, понимают дробь, числитель которой равен 1, а знаменатель — степени $a^m$. Таким образом, по определению $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$. Это определение также позволяет сохранить свойства степеней. Например, используя свойство $a^p : a^q = a^{p-q}$ и полагая $p=0$, $q=m$, получаем $a^0 : a^m = a^{0-m} = a^{-m}$. Так как $a^0=1$, то $1 : a^m = \frac{1}{a^m}$. Следовательно, $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$.
Ответ: Под $a^{-m}$ (при $a \neq 0$ и $m$ — натуральное число) понимают дробь $\frac{1}{a^m}$.

в) Степенью с целым показателем называют число $a^n$, где $a$ — основание степени, а $n$ — показатель степени, который является любым целым числом (положительным, отрицательным или нулем). Это понятие является обобщением степени с натуральным показателем и определяется следующим образом:
1. Если $n$ — натуральное число ($n > 0$), то $a^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$.
2. Если $n = 0$ и $a \neq 0$, то $a^0 = 1$.
3. Если $n$ — целое отрицательное число (то есть $n = -m$, где $m$ — натуральное число) и $a \neq 0$, то $a^n = a^{-m} = \frac{1}{a^m}$.
Ответ: Степенью с целым показателем $n$ и основанием $a$ называют число $a^n$, равное произведению $n$ множителей $a$ при натуральном $n$, равное 1 при $n=0$ (для $a \neq 0$), и равное $\frac{1}{a^{-n}}$ при отрицательном $n$ (для $a \neq 0$).

г) Проанализируем каждое из предложенных выражений:
1. Выражение $0^5$: Это степень с натуральным показателем (5 — натуральное число). По определению, $0^5 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$. Данное выражение имеет смысл и его значение равно 0.
2. Выражение $0^0$: Это степень с нулевым показателем и нулевым основанием. По определению, степень с нулевым показателем $a^0$ определена только для $a \neq 0$. Таким образом, выражение $0^0$ является неопределенным и не имеет смысла в рамках школьной программы.
3. Выражение $0^{-5}$: Это степень с целым отрицательным показателем и нулевым основанием. По определению, степень с отрицательным показателем $a^{-m}$ определена только для $a \neq 0$, так как $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, а деление на ноль ($0^m=0$) невозможно. Следовательно, выражение $0^{-5}$ не имеет смысла.
Ответ: Имеет смысл только выражение $0^5$. Выражения $0^0$ и $0^{-5}$ смысла не имеют.