Номер 577, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.1. Понятие степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 577, страница 151.

Условие.

577. a) $4^{-2}$;

б) $3^{-1}$;

В) $3^{-4}$;

г) $7,12^0$;

д) $5^{-1} + 4^{-1}$;

е) $(5 + 4)^{-1}$;

ж) $4^{-1} - 5^{-1}$;

з) $(3^{-1} - 5^{-1})^{-2}$;

и) $2^{-3} + 4^{-2}$;

к) $3^{-2} - 9^{-1}$;

л) $4^2 \cdot 2^{-3}$;

м) $3^{-4} : 9^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно взять обратное ему число (единицу, деленную на это число) и возвести в ту же степень, но с положительным знаком. Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

б) Используя то же свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Применяем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$

г) Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице. Используем свойство $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$):
$7,12^0 = 1$.
Ответ: $1$

д) Сначала преобразуем каждое слагаемое, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, а затем сложим полученные дроби:
$5^{-1} + 4^{-1} = \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $20$:
$\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{4+5}{20} = \frac{9}{20}$.
Ответ: $\frac{9}{20}$

е) Сначала выполняем действие в скобках, а затем возводим результат в степень:
$(5 + 4)^{-1} = 9^{-1}$.
Теперь применяем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$9^{-1} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

ж) Преобразуем каждое число в дробь и выполним вычитание:
$4^{-1} - 5^{-1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $20$:
$\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

з) Сначала выполняем вычитание в скобках, предварительно преобразовав степени в дроби:
$3^{-1} - 5^{-1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}$.
Теперь возводим полученную дробь в степень $-2$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{2}{15})^{-2} = (\frac{15}{2})^2 = \frac{15^2}{2^2} = \frac{225}{4}$.
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $56\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{225}{4}$

и) Преобразуем каждое слагаемое в дробь и сложим их:
$2^{-3} + 4^{-2} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4^2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $16$:
$\frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$

к) Преобразуем степени в дроби и выполним вычитание:
$3^{-2} - 9^{-1} = \frac{1}{3^2} - \frac{1}{9^1} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$.
Ответ: $0$

л) Преобразуем второй множитель в дробь и выполним умножение:
$4^2 \cdot 2^{-3} = 16 \cdot \frac{1}{2^3} = 16 \cdot \frac{1}{8} = \frac{16}{8} = 2$.
Другой способ: приведем основания к одному числу ($4 = 2^2$):
$4^2 \cdot 2^{-3} = (2^2)^2 \cdot 2^{-3} = 2^4 \cdot 2^{-3} = 2^{4-3} = 2^1 = 2$.
Ответ: $2$

м) Приведем основания степеней к одному числу ($9 = 3^2$) и воспользуемся свойствами степеней:
$3^{-4} : 9^{-2} = 3^{-4} : (3^2)^{-2} = 3^{-4} : 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4} : 3^{-4}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$3^{-4 - (-4)} = 3^{-4+4} = 3^0 = 1$.
Ответ: $1$