Номер 580, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.1. Понятие степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 580, страница 151.

Условие.

Сравните (580–581):

580. а) $5^0$ и $(-5)^0$;

б) $5^{-2}$ и $5^2$;

в) $(-2)^3$ и $(-2)^0$;

г) $-3^2$ и $(-3)^2$;

д) $(-2)^4$ и $2^{-4}$;

е) $-2^4$ и $2^{-4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сравнить числа $5^0$ и $(-5)^0$, воспользуемся свойством степени с нулевым показателем. Согласно этому свойству, любое ненулевое число в степени 0 равно 1.
Вычислим значение первого выражения: $5^0 = 1$.
Вычислим значение второго выражения: $(-5)^0 = 1$.
Сравнивая полученные результаты, видим, что $1 = 1$. Следовательно, $5^0 = (-5)^0$.
Ответ: $5^0 = (-5)^0$.

б) Чтобы сравнить числа $5^{-2}$ и $5^2$, вычислим их значения.
Для первого числа используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Вычислим второе число: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{25}$ и целое число $25$. Очевидно, что положительное число, меньшее единицы, меньше числа, большего единицы: $\frac{1}{25} < 25$.
Следовательно, $5^{-2} < 5^2$.
Ответ: $5^{-2} < 5^2$.

в) Чтобы сравнить числа $(-2)^3$ и $(-2)^0$, вычислим их значения.
Вычислим значение первого выражения. Возведение отрицательного числа в нечетную степень дает отрицательный результат: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
Вычислим значение второго выражения, используя свойство степени с нулевым показателем: $(-2)^0 = 1$.
Сравним полученные значения $-8$ и $1$. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $1 > -8$.
Следовательно, $(-2)^0 > (-2)^3$.
Ответ: $(-2)^3 < (-2)^0$.

г) Чтобы сравнить числа $-3^2$ и $(-3)^2$, необходимо правильно определить порядок действий.
В выражении $-3^2$ операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Поэтому сначала вычисляется $3^2$, а затем применяется знак минуса: $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$.
В выражении $(-3)^2$ в степень возводится число в скобках, то есть $-3$: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$.
Сравним полученные значения $-9$ и $9$. Положительное число всегда больше отрицательного: $9 > -9$.
Следовательно, $(-3)^2 > -3^2$.
Ответ: $-3^2 < (-3)^2$.

д) Чтобы сравнить числа $(-2)^4$ и $2^{-4}$, вычислим их значения.
Вычислим значение первого выражения. Возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный результат: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.
Для второго числа используем свойство степени с отрицательным показателем: $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Сравним полученные значения $16$ и $\frac{1}{16}$. Очевидно, что $16 > \frac{1}{16}$.
Следовательно, $(-2)^4 > 2^{-4}$.
Ответ: $(-2)^4 > 2^{-4}$.

е) Чтобы сравнить числа $-2^4$ и $2^{-4}$, вычислим их значения, учитывая порядок действий.
В выражении $-2^4$ сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минуса: $-2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$.
Вычислим второе число: $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Сравним полученные значения $-16$ и $\frac{1}{16}$. Любое положительное число (в данном случае $\frac{1}{16}$) больше любого отрицательного числа (в данном случае $-16$).
Следовательно, $2^{-4} > -2^4$.
Ответ: $-2^4 < 2^{-4}$.