Номер 579, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.1. Понятие степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 579, страница 151.

Условие.

579. Доказываем. Докажите, что для чисел $a \neq 0$, $b \neq 0$, $k$ — целого верно равенство:

$(\frac{a}{b})^{-k} = (\frac{b}{a})^{k}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для доказательства равенства необходимо преобразовать его левую часть, используя свойства степени с целым показателем, и показать, что она равна правой части. Условия $a \neq 0$ и $b \neq 0$ гарантируют, что все дроби и основания степеней определены.

Рассмотрим левую часть равенства: $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-k} $.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: для любого ненулевого основания $x$ и целого числа $n$ справедливо $x^{-n} = \left(\frac{1}{x}\right)^n$. В данном случае основанием является дробь $x = \frac{a}{b}$, а показатель равен $-k$. Применим это свойство:$$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-k} = \left(\frac{1}{\frac{a}{b}}\right)^k $$

Теперь упростим выражение в скобках. Величина, обратная дроби $\frac{a}{b}$, есть дробь $\frac{b}{a}$:$$ \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} $$

Подставим полученную упрощенную дробь обратно в наше выражение:$$ \left(\frac{b}{a}\right)^k $$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства в правую:$$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-k} = \left(\frac{b}{a}\right)^k $$Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем последовательного применения свойств степени с целым показателем к левой части выражения.