Номер 578, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.1. Понятие степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 578, страница 151.

Условие.

578. Проверьте равенство:

а) $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2;$

б) $(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3;$

в) $(\frac{12}{31})^{-5} = (\frac{31}{12})^5;$

г) $(\frac{5}{3})^4 = (\frac{3}{5})^{-4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для проверки данных равенств мы будем использовать основное свойство степени с отрицательным показателем для дробей, которое гласит: $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n} $. Это означает, что для возведения дроби в отрицательную степень нужно "перевернуть" дробь (поменять местами числитель и знаменатель) и возвести ее в ту же степень, но с положительным показателем.

а) Проверим равенство $ (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^{2} $.

Преобразуем левую часть равенства, используя указанное выше свойство:

$ (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^{2} $

После преобразования левая часть стала идентична правой части. Следовательно, равенство является верным.

Ответ: равенство верное.

б) Проверим равенство $ (\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^{3} $.

Применим свойство степени с отрицательным показателем к левой части:

$ (\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^{3} $

Так как $ \frac{2}{1} = 2 $, то равенство можно записать как $ 2^3 = 2^3 $, что равно 8. Левая часть после преобразования равна правой части. Значит, равенство верное.

Ответ: равенство верное.

в) Проверим равенство $ (\frac{12}{31})^{-5} = (\frac{31}{12})^{5} $.

Преобразуем левую часть равенства по свойству степени с отрицательным показателем:

$ (\frac{12}{31})^{-5} = (\frac{31}{12})^{5} $

Полученное выражение в левой части полностью совпадает с выражением в правой части. Следовательно, равенство верно.

Ответ: равенство верное.

г) Проверим равенство $ (1\frac{2}{3})^{4} = (\frac{3}{5})^{-4} $.

Для проверки преобразуем обе части равенства к общему виду.

1. Преобразуем левую часть. Переведем смешанное число $ 1\frac{2}{3} $ в неправильную дробь:

$ 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3} $.

Тогда левая часть равенства принимает вид $ (\frac{5}{3})^{4} $.

2. Преобразуем правую часть. Используем свойство степени с отрицательным показателем:

$ (\frac{3}{5})^{-4} = (\frac{5}{3})^{4} $.

3. Теперь сравним преобразованные части: $ (\frac{5}{3})^{4} = (\frac{5}{3})^{4} $. Равенство очевидно верное.

Ответ: равенство верное.