Номер 581, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.1. Понятие степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 581, страница 151.

Условие.

581. а) $19^{-20}$ и $(\frac{1}{19})^{20}$;

б) $(\frac{2}{3})^5$ и $(\frac{3}{5})^{-5}$;

в) $(\frac{1}{3})^6$ и $3^{-6}$;

г) $1999^{2000}$ и $(\frac{1}{1999})^{-2000}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Сравним числа $19^{-20}$ и $(\frac{1}{19})^{20}$.
Для решения воспользуемся свойствами степеней. По определению степени с отрицательным показателем, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Применим это свойство к первому числу:
$19^{-20} = \frac{1}{19^{20}}$.
Теперь преобразуем второе число, используя свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{1}{19})^{20} = \frac{1^{20}}{19^{20}} = \frac{1}{19^{20}}$.
Так как оба выражения равны одному и тому же числу $\frac{1}{19^{20}}$, то они равны между собой.
Ответ: $19^{-20} = (\frac{1}{19})^{20}$.

б) Сравним $(\frac{2}{3})^5$ и $(\frac{3}{5})^{-5}$.
Преобразуем второе выражение, используя свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{3}{5})^{-5} = (\frac{5}{3})^5$.
Теперь задача сводится к сравнению чисел $(\frac{2}{3})^5$ и $(\frac{5}{3})^5$.
Так как показатели степени (5) одинаковы и положительны, то сравнение степеней можно свести к сравнению их оснований: $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{3}$.
Поскольку $2 < 5$, то и $\frac{2}{3} < \frac{5}{3}$.
Следовательно, $(\frac{2}{3})^5 < (\frac{5}{3})^5$, а это значит, что $(\frac{2}{3})^5 < (\frac{3}{5})^{-5}$.
Ответ: $(\frac{2}{3})^5 < (\frac{3}{5})^{-5}$.

в) Сравним $(\frac{1}{3})^6$ и $3^{-6}$.
Преобразуем первое выражение, используя свойство возведения дроби в степень $(\frac{1}{a})^n = \frac{1}{a^n}$:
$(\frac{1}{3})^6 = \frac{1^6}{3^6} = \frac{1}{3^6}$.
Преобразуем второе выражение, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-6} = \frac{1}{3^6}$.
Оба выражения равны $\frac{1}{3^6}$, следовательно, они равны между собой.
Ответ: $(\frac{1}{3})^6 = 3^{-6}$.

г) Сравним $1999^{2000}$ и $(\frac{1}{1999})^{-2000}$.
Преобразуем второе выражение, используя свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1}{1999})^{-2000} = (\frac{1999}{1})^{2000} = 1999^{2000}$.
После преобразования мы видим, что второе выражение равно первому.
Ответ: $1999^{2000} = (\frac{1}{1999})^{-2000}$.