Номер 586, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.2. Свойства степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 586, страница 154.

Условие.

586. Представьте в виде степени с целым показателем:

а) $a^{-3} \cdot b^{-3}$;

б) $7^2 \cdot 2^{-3} \cdot 7$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы представить выражение $a^{-3} \cdot b^{-3}$ в виде степени, мы можем использовать свойство степеней, которое гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем, а основание равно произведению оснований. Формула этого свойства: $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$.

В данном случае показатель степени $n = -3$, а основания — это $a$ и $b$. Применим свойство:

$a^{-3} \cdot b^{-3} = (a \cdot b)^{-3} = (ab)^{-3}$

Таким образом, выражение представлено в виде степени с основанием $ab$ и целым показателем $-3$.

Ответ: $(ab)^{-3}$

б) Рассмотрим выражение $7^2 \cdot 2^{-3} \cdot 7$.

Сначала упростим его, сгруппировав множители с одинаковым основанием. Число $7$ можно представить как $7^1$. Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$7^2 \cdot 7 = 7^2 \cdot 7^1 = 7^{2+1} = 7^3$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$7^3 \cdot 2^{-3}$

Далее, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Подставим это в наше выражение:

$7^3 \cdot \frac{1}{2^3} = \frac{7^3}{2^3}$

Наконец, применим свойство частного степеней с одинаковым показателем: $\frac{x^n}{y^n} = \left(\frac{x}{y}\right)^n$.

$\frac{7^3}{2^3} = \left(\frac{7}{2}\right)^3$

Мы представили выражение в виде степени с основанием $\frac{7}{2}$ и целым показателем $3$.

Ответ: $\left(\frac{7}{2}\right)^3$