Номер 593, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.2. Свойства степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 593, страница 154.

Условие.

593. a) $ \frac{10^2}{12^2} $;

г) $ \frac{(m^3)^4}{(a^4)^3} $;

б) $ \frac{4^3}{5^6} $;

д) $ \frac{m^3m^5}{a^8} $;

в) $ \frac{25^4}{7^8} $;

е) $ \frac{(n^6)^2}{a^{12}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы упростить выражение, воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым показателем: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

Применим это правило к выражению $\frac{10^2}{12^2}$:

$\frac{10^2}{12^2} = (\frac{10}{12})^2$

Сократим дробь внутри скобок:

$\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$(\frac{5}{6})^2 = \frac{5^2}{6^2} = \frac{25}{36}$

Ответ: $\frac{25}{36}$.

б) Для упрощения выражения представим числитель в виде степени с тем же показателем, что и у знаменателя. Основание числителя $4$ можно записать как $2^2$.

$4^3 = (2^2)^3$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\frac{2^6}{5^6}$

Используя свойство частного степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$\frac{2^6}{5^6} = (\frac{2}{5})^6$

Ответ: $(\frac{2}{5})^6$.

в) Представим числитель $25^4$ в виде степени с основанием $5$, так как $25 = 5^2$.

$25^4 = (5^2)^4$

По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{5^8}{7^8}$

Применяя свойство частного степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$\frac{5^8}{7^8} = (\frac{5}{7})^8$

Ответ: $(\frac{5}{7})^8$.

г) Упростим числитель и знаменатель, используя свойство возведения степени в степень $(x^p)^q = x^{p \cdot q}$.

Числитель: $(m^3)^4 = m^{3 \cdot 4} = m^{12}$.

Знаменатель: $(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$.

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{m^{12}}{a^{12}}$

Используем свойство частного степеней $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$:

$\frac{m^{12}}{a^{12}} = (\frac{m}{a})^{12}$

Ответ: $(\frac{m}{a})^{12}$.

д) Сначала упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$.

$m^3 m^5 = m^{3+5} = m^8$

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{m^8}{a^8}$

Используем свойство частного степеней $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$:

$\frac{m^8}{a^8} = (\frac{m}{a})^8$

Ответ: $(\frac{m}{a})^8$.

е) Упростим числитель, используя свойство возведения степени в степень $(x^p)^q = x^{p \cdot q}$.

$(n^6)^2 = n^{6 \cdot 2} = n^{12}$

Теперь дробь принимает вид:

$\frac{n^{12}}{a^{12}}$

Используем свойство частного степеней $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$:

$\frac{n^{12}}{a^{12}} = (\frac{n}{a})^{12}$

Ответ: $(\frac{n}{a})^{12}$.