Номер 594, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.2. Свойства степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 594, страница 154.

Условие.

594. Сравните:

а) $3^4$ и $4^3$;

б) $2^4$ и $4^2$;

в) $10^{20}$ и $20^{10}$;

г) $100^{200}$ и $200^{100}$;

д) $1999^{2000}$ и $1998^{1999}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Чтобы сравнить $3^4$ и $4^3$, вычислим значения этих степеней:

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $81 > 64$. Следовательно, $3^4 > 4^3$.

Ответ: $3^4 > 4^3$.

б) Чтобы сравнить $2^4$ и $4^2$, можно вычислить их значения или привести к одному основанию.

Способ 1: Вычисление.

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

$4^2 = 4 \times 4 = 16$

Так как $16 = 16$, то $2^4 = 4^2$.

Способ 2: Приведение к одному основанию.

Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

Тогда $4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \times 2} = 2^4$.

Очевидно, что $2^4 = 2^4$.

Ответ: $2^4 = 4^2$.

в) Чтобы сравнить $10^{20}$ и $20^{10}$, приведем степени к одному показателю. Наибольший общий делитель показателей 20 и 10 равен 10.

Представим $10^{20}$ в виде степени с показателем 10:

$10^{20} = 10^{2 \times 10} = (10^2)^{10} = 100^{10}$.

Теперь сравним $100^{10}$ и $20^{10}$.

Так как показатели степеней одинаковы (равны 10), сравним их основания. Поскольку $100 > 20$, то и $100^{10} > 20^{10}$.

Следовательно, $10^{20} > 20^{10}$.

Ответ: $10^{20} > 20^{10}$.

г) Чтобы сравнить $100^{200}$ и $200^{100}$, приведем их к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 200 и 100 равен 100.

Представим $100^{200}$ в виде степени с показателем 100:

$100^{200} = 100^{2 \times 100} = (100^2)^{100} = 10000^{100}$.

Теперь сравним $10000^{100}$ и $200^{100}$.

Поскольку показатели степеней одинаковы (равны 100), достаточно сравнить их основания. Так как $10000 > 200$, то $10000^{100} > 200^{100}$.

Следовательно, $100^{200} > 200^{100}$.

Ответ: $100^{200} > 200^{100}$.

д) Сравним числа $1999^{2000}$ и $1998^{1999}$.

Рассмотрим отношение этих двух чисел:

$\frac{1999^{2000}}{1998^{1999}} = \frac{1999 \times 1999^{1999}}{1998^{1999}} = 1999 \times (\frac{1999}{1998})^{1999}$.

Оценим множитель $(\frac{1999}{1998})^{1999}$.

Дробь $\frac{1999}{1998}$ очевидно больше 1. Можно записать ее в виде $1 + \frac{1}{1998}$.

Так как основание степени $1 + \frac{1}{1998} > 1$, то при возведении в положительную степень 1999 результат также будет больше 1.

Таким образом, $(\frac{1999}{1998})^{1999} > 1$.

Теперь вернемся к исходному отношению:

$1999 \times (\frac{1999}{1998})^{1999} > 1999 \times 1 = 1999$.

Мы получили, что отношение $\frac{1999^{2000}}{1998^{1999}} > 1999$, и, следовательно, оно больше 1.

Если отношение двух положительных чисел больше 1, то числитель больше знаменателя.

Значит, $1999^{2000} > 1998^{1999}$.

Ответ: $1999^{2000} > 1998^{1999}$.