Страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

586. Представьте в виде степени с целым показателем:

а) $a^{-3} \cdot b^{-3}$;

б) $7^2 \cdot 2^{-3} \cdot 7$.

а) Чтобы представить выражение $a^{-3} \cdot b^{-3}$ в виде степени, мы можем использовать свойство степеней, которое гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем, а основание равно произведению оснований. Формула этого свойства: $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$.

В данном случае показатель степени $n = -3$, а основания — это $a$ и $b$. Применим свойство:

$a^{-3} \cdot b^{-3} = (a \cdot b)^{-3} = (ab)^{-3}$

Таким образом, выражение представлено в виде степени с основанием $ab$ и целым показателем $-3$.

Ответ: $(ab)^{-3}$

б) Рассмотрим выражение $7^2 \cdot 2^{-3} \cdot 7$.

Сначала упростим его, сгруппировав множители с одинаковым основанием. Число $7$ можно представить как $7^1$. Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$7^2 \cdot 7 = 7^2 \cdot 7^1 = 7^{2+1} = 7^3$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$7^3 \cdot 2^{-3}$

Далее, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Подставим это в наше выражение:

$7^3 \cdot \frac{1}{2^3} = \frac{7^3}{2^3}$

Наконец, применим свойство частного степеней с одинаковым показателем: $\frac{x^n}{y^n} = \left(\frac{x}{y}\right)^n$.

$\frac{7^3}{2^3} = \left(\frac{7}{2}\right)^3$

Мы представили выражение в виде степени с основанием $\frac{7}{2}$ и целым показателем $3$.

Ответ: $\left(\frac{7}{2}\right)^3$

587. Представьте выражение в виде произведения степеней:

а) $(a^2b^{-5})^3$;

б) $(a^{-7}b^2)^{-2}$;

в) $(a^{-3}b^{-5})^{-4}$.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

а) Представим выражение $(a^2b^{-5})^3$ в виде произведения степеней. Для этого возведем каждый множитель в скобках в степень 3:

$(a^2b^{-5})^3 = (a^2)^3 \cdot (b^{-5})^3$

Теперь применим свойство возведения степени в степень, перемножив показатели:

$a^{2 \cdot 3} \cdot b^{-5 \cdot 3} = a^6 b^{-15}$

Ответ: $a^6 b^{-15}$

б) Представим выражение $(a^{-7}b^2)^{-2}$ в виде произведения степеней. Возведем каждый множитель в скобках в степень -2:

$(a^{-7}b^2)^{-2} = (a^{-7})^{-2} \cdot (b^2)^{-2}$

Применим свойство возведения степени в степень:

$a^{(-7) \cdot (-2)} \cdot b^{2 \cdot (-2)} = a^{14} b^{-4}$

Ответ: $a^{14} b^{-4}$

в) Представим выражение $(a^{-3}b^{-5})^{-4}$ в виде произведения степеней. Возведем каждый множитель в скобках в степень -4:

$(a^{-3}b^{-5})^{-4} = (a^{-3})^{-4} \cdot (b^{-5})^{-4}$

Применим свойство возведения степени в степень:

$a^{(-3) \cdot (-4)} \cdot b^{(-5) \cdot (-4)} = a^{12} b^{20}$

Ответ: $a^{12} b^{20}$

588. Доказываем. Докажите, что если $a \ne 0$ и $m, n, k$ — целые числа, то:

а) $(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n;$

б) $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m + n + k};$

в) $((a^m)^n)^k = a^{m \cdot n \cdot k}.$

а) Доказательство тождества $ (a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n $.
В условии дано, что $ a \neq 0 $. Чтобы выражения $ b^n $ и $ c^n $ были определены при отрицательном показателе $ n $, необходимо также, чтобы $ b \neq 0 $ и $ c \neq 0 $. Будем считать, что эти условия выполняются. Доказательство проведем, рассмотрев три возможных случая для целого числа $ n $.

1. Случай, когда $ n $ — натуральное число ($ n > 0 $).
По определению степени с натуральным показателем, $ (a \cdot b \cdot c)^n $ представляет собой произведение $ n $ сомножителей, каждый из которых равен $ (a \cdot b \cdot c) $:
$ (a \cdot b \cdot c)^n = \underbrace{(a \cdot b \cdot c) \cdot (a \cdot b \cdot c) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b \cdot c)}_{n \text{ раз}} $
Используя переместительное (коммутативное) и сочетательное (ассоциативное) свойства умножения, мы можем перегруппировать множители следующим образом:
$ = \underbrace{(a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \ldots \cdot b)}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{(c \cdot c \cdot \ldots \cdot c)}_{n \text{ раз}} $
По определению степени, данное выражение равно $ a^n \cdot b^n \cdot c^n $. Тождество верно для натуральных $ n $.

2. Случай, когда $ n = 0 $.
По определению степени с нулевым показателем, любая ненулевая база в степени 0 равна 1. Так как $ a, b, c $ не равны нулю, их произведение $ a \cdot b \cdot c $ также не равно нулю.
Левая часть: $ (a \cdot b \cdot c)^0 = 1 $.
Правая часть: $ a^n \cdot b^n \cdot c^n = a^0 \cdot b^0 \cdot c^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $.
Так как $ 1 = 1 $, тождество верно при $ n=0 $.

3. Случай, когда $ n $ — целое отрицательное число.
Пусть $ n = -p $, где $ p $ — натуральное число. По определению степени с целым отрицательным показателем: $ x^{-p} = \frac{1}{x^p} $.
Левая часть: $ (a \cdot b \cdot c)^n = (a \cdot b \cdot c)^{-p} = \frac{1}{(a \cdot b \cdot c)^p} $.
Как мы показали в первом случае, для натурального показателя $ p $ справедливо $ (a \cdot b \cdot c)^p = a^p \cdot b^p \cdot c^p $.
Следовательно, левая часть равна $ \frac{1}{a^p \cdot b^p \cdot c^p} = \frac{1}{a^p} \cdot \frac{1}{b^p} \cdot \frac{1}{c^p} $.
Вновь применяя определение степени с отрицательным показателем, получаем: $ a^{-p} \cdot b^{-p} \cdot c^{-p} $.
Поскольку $ n = -p $, это выражение равно $ a^n \cdot b^n \cdot c^n $, что и является правой частью исходного тождества.

Таким образом, тождество доказано для всех целых значений $ n $.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Доказательство тождества $ a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k} $.
Для доказательства будем использовать основное свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $ a^x \cdot a^y = a^{x+y} $. Это свойство справедливо для любых целых показателей $ x, y $ и $ a \neq 0 $.
Рассмотрим левую часть тождества и применим к ней сочетательное свойство умножения:
$ a^m \cdot a^n \cdot a^k = (a^m \cdot a^n) \cdot a^k $
Преобразуем выражение в скобках, используя свойство $ a^x \cdot a^y = a^{x+y} $ (в нашем случае $ x=m, y=n $):
$ (a^m \cdot a^n) = a^{m+n} $
Подставим результат обратно:
$ = a^{m+n} \cdot a^k $
Теперь применим то же свойство еще раз, но уже для показателей $ m+n $ и $ k $ (здесь $ x=m+n, y=k $):
$ = a^{(m+n)+k} $
В силу ассоциативности сложения целых чисел, $ (m+n)+k = m+n+k $.
$ = a^{m+n+k} $
Левая часть тождества равна правой.

Таким образом, тождество доказано для всех целых $ m, n, k $.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Доказательство тождества $ ((a^m)^n)^k = a^{m \cdot n \cdot k} $.
Для доказательства воспользуемся основным свойством возведения степени в степень: $ (a^x)^y = a^{x \cdot y} $. Это свойство справедливо для любых целых показателей $ x, y $ и $ a \neq 0 $.
Рассмотрим левую часть тождества и будем преобразовывать ее последовательно, начиная с внутреннего выражения.
$ ((a^m)^n)^k $
Сначала преобразуем основание $ (a^m)^n $, используя свойство $ (a^x)^y = a^{x \cdot y} $ (где $ x=m, y=n $):
$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $
Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$ = (a^{m \cdot n})^k $
Теперь применим свойство возведения степени в степень еще раз, но для основания $ a^{m \cdot n} $ и показателя $ k $ (здесь $ x = m \cdot n, y=k $):
$ = a^{(m \cdot n) \cdot k} $
В силу ассоциативности умножения целых чисел, $ (m \cdot n) \cdot k = m \cdot n \cdot k $.
$ = a^{m \cdot n \cdot k} $
Левая часть тождества равна правой.

Таким образом, тождество доказано для всех целых $ m, n, k $.
Ответ: Утверждение доказано.

Запишите в виде степени с целым показателем, если $a \ne 0$ (589—593):

589. а) $2^3 \cdot 2^4$;

б) $5 \cdot 5^6$;

в) $4^3 \cdot 4^2 \cdot 4$;

г) $7^2 \cdot 7 \cdot 7^5$;

д) $3^6 \cdot 3^7 \cdot 3$;

е) $6^4 \cdot 6^4 \cdot 6^3 \cdot 6^2$;

ж) $11^2 \cdot 11^2 \cdot 11^2$;

з) $9^3 \cdot 9^6 \cdot 9^2 \cdot 9^4 \cdot 9$.

Для решения данных задач используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. Математически это записывается так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Также следует помнить, что любое число без явного показателя степени можно рассматривать как число в первой степени, то есть $a = a^1$.

а) В выражении $2^3 \cdot 2^4$ основания степеней одинаковы и равны 2. Чтобы представить произведение в виде одной степени, необходимо сложить показатели, оставив основание без изменений.
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.
Ответ: $2^7$.

б) В выражении $5 \cdot 5^6$ первый множитель 5 можно представить как степень с показателем 1, то есть $5^1$. Затем, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием, складываем показатели.
$5 \cdot 5^6 = 5^1 \cdot 5^6 = 5^{1+6} = 5^7$.
Ответ: $5^7$.

в) В выражении $4^3 \cdot 4^2 \cdot 4$ участвуют три множителя с одинаковым основанием 4. Последний множитель 4 равен $4^1$. Складываем все показатели степеней.
$4^3 \cdot 4^2 \cdot 4 = 4^3 \cdot 4^2 \cdot 4^1 = 4^{3+2+1} = 4^6$.
Ответ: $4^6$.

г) В выражении $7^2 \cdot 7 \cdot 7^5$ все множители имеют основание 7. Множитель 7 в середине можно записать как $7^1$. Суммируем показатели всех множителей.
$7^2 \cdot 7 \cdot 7^5 = 7^2 \cdot 7^1 \cdot 7^5 = 7^{2+1+5} = 7^8$.
Ответ: $7^8$.

д) В выражении $3^6 \cdot 3^7 \cdot 3 \cdot 3$ основание у всех множителей равно 3. Каждый из множителей "3" можно представить как $3^1$. Складываем показатели: 6, 7, 1 и 1.
$3^6 \cdot 3^7 \cdot 3 \cdot 3 = 3^6 \cdot 3^7 \cdot 3^1 \cdot 3^1 = 3^{6+7+1+1} = 3^{15}$.
Ответ: $3^{15}$.

е) В выражении $6^4 \cdot 6^4 \cdot 6^3 \cdot 6^2$ все основания одинаковы и равны 6. Складываем показатели всех степеней.
$6^4 \cdot 6^4 \cdot 6^3 \cdot 6^2 = 6^{4+4+3+2} = 6^{13}$.
Ответ: $6^{13}$.

ж) В выражении $11^2 \cdot 11 \cdot 11^2$ основание у всех множителей равно 11. Средний множитель 11 равен $11^1$. Складываем показатели.
$11^2 \cdot 11 \cdot 11^2 = 11^2 \cdot 11^1 \cdot 11^2 = 11^{2+1+2} = 11^5$.
Ответ: $11^5$.

з) В выражении $9^3 \cdot 9^6 \cdot 9^2 \cdot 9^4 \cdot 9$ все множители имеют одинаковое основание 9. Последний множитель 9 можно записать как $9^1$. Суммируем все показатели.
$9^3 \cdot 9^6 \cdot 9^2 \cdot 9^4 \cdot 9 = 9^3 \cdot 9^6 \cdot 9^2 \cdot 9^4 \cdot 9^1 = 9^{3+6+2+4+1} = 9^{16}$.
Ответ: $9^{16}$.

590. а) $a^5 \cdot a^4;$

б) $a^3 \cdot a^8;$

В) $a^{10} \cdot a;$

Г) $a \cdot a^7;$

Д) $a \cdot a;$

е) $a \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot a^4.$

а) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это свойство выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание — $a$, а показатели — 5 и 4.

Выполним вычисление, сложив показатели:

$a^5 \cdot a^4 = a^{5+4} = a^9$

Ответ: $a^9$

б) Используем то же правило умножения степеней с одинаковым основанием, что и в предыдущем пункте. Складываем показатели степеней 3 и 8.

$a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11}$

Ответ: $a^{11}$

в) В этом выражении один из множителей, $a$, записан без показателя степени. Любое число или переменная без явного показателя степени считается возведенной в первую степень, то есть $a = a^1$.

Теперь применим правило умножения степеней, сложив показатели 10 и 1:

$a^{10} \cdot a = a^{10} \cdot a^1 = a^{10+1} = a^{11}$

Ответ: $a^{11}$

г) Поступаем так же, как и в пункте в). Представляем множитель $a$ как $a^1$ и складываем показатели степеней 1 и 7.

$a \cdot a^7 = a^1 \cdot a^7 = a^{1+7} = a^8$

Ответ: $a^8$

д) В данном выражении $a \cdot a$ оба множителя не имеют явного показателя степени. Представляем каждый из них как степень с показателем 1.

$a \cdot a = a^1 \cdot a^1 = a^{1+1} = a^2$

Это также соответствует определению второй степени (квадрата) числа.

Ответ: $a^2$

е) Правило сложения показателей применимо и для произведения более двух степеней с одинаковым основанием. Необходимо сложить показатели всех множителей. Вспомним, что $a = a^1$.

$a \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot a^4 = a^1 \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot a^4 = a^{1+2+3+4}$

Сложим показатели: $1+2+3+4 = 10$.

Следовательно, результат будет:

$a^{10}$

Ответ: $a^{10}$

591. a) $2^5 : 2^4$;

б) $3^7 : 3^8$;

В) $5^9 : 5$;

Г) $\frac{10^3}{10}$;

Д) $\frac{5^7}{5^{13}}$;

е) $\frac{8^{12}}{8^{10}}$.

а) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это свойство степеней записывается формулой $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим это правило к выражению $2^5 : 2^4$:

$2^5 : 2^4 = 2^{5-4} = 2^1 = 2$.

Ответ: $2$.

б) Используем то же правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим его к выражению $3^7 : 3^8$:

$3^7 : 3^8 = 3^{7-8} = 3^{-1}$.

Степень с отрицательным показателем $a^{-n}$ равна $\frac{1}{a^n}$. Следовательно:

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) В данном выражении $5^9 : 5$ число 5 можно представить как степень с показателем 1, то есть $5 = 5^1$.

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$5^9 : 5 = 5^9 : 5^1 = 5^{9-1} = 5^8$.

Ответ: $5^8$.

г) Дробная черта является знаком деления. Таким образом, выражение $\frac{10^3}{10}$ эквивалентно $10^3 : 10$.

Знаменатель 10 можно представить как $10^1$. Применяя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$\frac{10^3}{10} = \frac{10^3}{10^1} = 10^{3-1} = 10^2 = 100$.

Ответ: $100$.

д) Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ к выражению $\frac{5^7}{5^{13}}$:

$\frac{5^7}{5^{13}} = 5^{7-13} = 5^{-6}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, можно записать результат в виде дроби:

$5^{-6} = \frac{1}{5^6}$.

Ответ: $\frac{1}{5^6}$.

е) Для упрощения дроби $\frac{8^{12}}{8^{10}}$ воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{8^{12}}{8^{10}} = 8^{12-10} = 8^2$.

Вычислим значение $8^2$:

$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$.

Ответ: $64$.

592. а) $a^7 : a^3;$

б) $a^8 : a^{12};$

в) $a^6 : a;$

г) $\frac{a^{12}}{a^4};$

д) $\frac{a^{20}}{a^{22}};$

е) $\frac{a^{20}}{a}.$

Для решения всех представленных задач используется свойство деления степеней с одинаковым основанием. Оно формулируется так: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Если $a$ — любое число, не равное нулю, а $m$ и $n$ — любые целые числа, то справедливо равенство:

$a^m : a^n = a^{m-n}$ или в виде дроби $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

а) $a^7 : a^3$

Применим указанное выше правило. Основание степени — $a$. Вычитаем показатели: $7 - 3 = 4$.

$a^7 : a^3 = a^{7-3} = a^4$.

Ответ: $a^4$.

б) $a^8 : a^{12}$

В этом случае показатель степени делителя (12) больше показателя степени делимого (8). Правило деления степеней остается тем же, в результате получится отрицательный показатель.

$a^8 : a^{12} = a^{8-12} = a^{-4}$.

Выражение с отрицательным показателем можно записать в виде дроби: $a^{-4} = \frac{1}{a^4}$.

Ответ: $a^{-4}$.

в) $a^6 : a$

Переменная $a$ без явно указанного показателя степени подразумевает первую степень, то есть $a = a^1$.

Таким образом, деление принимает вид $a^6 : a^1$.

$a^6 : a^1 = a^{6-1} = a^5$.

Ответ: $a^5$.

г) $\frac{a^{12}}{a^4}$

Запись в виде дроби является другой формой операции деления. Применяем то же правило, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя.

$\frac{a^{12}}{a^4} = a^{12-4} = a^8$.

Ответ: $a^8$.

д) $\frac{a^{20}}{a^{22}}$

Аналогично предыдущим примерам, вычитаем показатели степеней.

$\frac{a^{20}}{a^{22}} = a^{20-22} = a^{-2}$.

Это выражение также можно представить в виде дроби: $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.

Ответ: $a^{-2}$.

е) $\frac{a^{20}}{a}$

Знаменатель дроби $a$ можно записать как $a^1$.

$\frac{a^{20}}{a} = \frac{a^{20}}{a^1} = a^{20-1} = a^{19}$.

Ответ: $a^{19}$.

593. a) $ \frac{10^2}{12^2} $;

г) $ \frac{(m^3)^4}{(a^4)^3} $;

б) $ \frac{4^3}{5^6} $;

д) $ \frac{m^3m^5}{a^8} $;

в) $ \frac{25^4}{7^8} $;

е) $ \frac{(n^6)^2}{a^{12}} $.

а) Чтобы упростить выражение, воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым показателем: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

Применим это правило к выражению $\frac{10^2}{12^2}$:

$\frac{10^2}{12^2} = (\frac{10}{12})^2$

Сократим дробь внутри скобок:

$\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$(\frac{5}{6})^2 = \frac{5^2}{6^2} = \frac{25}{36}$

Ответ: $\frac{25}{36}$.

б) Для упрощения выражения представим числитель в виде степени с тем же показателем, что и у знаменателя. Основание числителя $4$ можно записать как $2^2$.

$4^3 = (2^2)^3$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\frac{2^6}{5^6}$

Используя свойство частного степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$\frac{2^6}{5^6} = (\frac{2}{5})^6$

Ответ: $(\frac{2}{5})^6$.

в) Представим числитель $25^4$ в виде степени с основанием $5$, так как $25 = 5^2$.

$25^4 = (5^2)^4$

По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{5^8}{7^8}$

Применяя свойство частного степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$\frac{5^8}{7^8} = (\frac{5}{7})^8$

Ответ: $(\frac{5}{7})^8$.

г) Упростим числитель и знаменатель, используя свойство возведения степени в степень $(x^p)^q = x^{p \cdot q}$.

Числитель: $(m^3)^4 = m^{3 \cdot 4} = m^{12}$.

Знаменатель: $(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$.

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{m^{12}}{a^{12}}$

Используем свойство частного степеней $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$:

$\frac{m^{12}}{a^{12}} = (\frac{m}{a})^{12}$

Ответ: $(\frac{m}{a})^{12}$.

д) Сначала упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$.

$m^3 m^5 = m^{3+5} = m^8$

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{m^8}{a^8}$

Используем свойство частного степеней $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$:

$\frac{m^8}{a^8} = (\frac{m}{a})^8$

Ответ: $(\frac{m}{a})^8$.

е) Упростим числитель, используя свойство возведения степени в степень $(x^p)^q = x^{p \cdot q}$.

$(n^6)^2 = n^{6 \cdot 2} = n^{12}$

Теперь дробь принимает вид:

$\frac{n^{12}}{a^{12}}$

Используем свойство частного степеней $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$:

$\frac{n^{12}}{a^{12}} = (\frac{n}{a})^{12}$

Ответ: $(\frac{n}{a})^{12}$.

594. Сравните:

а) $3^4$ и $4^3$;

б) $2^4$ и $4^2$;

в) $10^{20}$ и $20^{10}$;

г) $100^{200}$ и $200^{100}$;

д) $1999^{2000}$ и $1998^{1999}$.

а) Чтобы сравнить $3^4$ и $4^3$, вычислим значения этих степеней:

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $81 > 64$. Следовательно, $3^4 > 4^3$.

Ответ: $3^4 > 4^3$.

б) Чтобы сравнить $2^4$ и $4^2$, можно вычислить их значения или привести к одному основанию.

Способ 1: Вычисление.

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

$4^2 = 4 \times 4 = 16$

Так как $16 = 16$, то $2^4 = 4^2$.

Способ 2: Приведение к одному основанию.

Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

Тогда $4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \times 2} = 2^4$.

Очевидно, что $2^4 = 2^4$.

Ответ: $2^4 = 4^2$.

в) Чтобы сравнить $10^{20}$ и $20^{10}$, приведем степени к одному показателю. Наибольший общий делитель показателей 20 и 10 равен 10.

Представим $10^{20}$ в виде степени с показателем 10:

$10^{20} = 10^{2 \times 10} = (10^2)^{10} = 100^{10}$.

Теперь сравним $100^{10}$ и $20^{10}$.

Так как показатели степеней одинаковы (равны 10), сравним их основания. Поскольку $100 > 20$, то и $100^{10} > 20^{10}$.

Следовательно, $10^{20} > 20^{10}$.

Ответ: $10^{20} > 20^{10}$.

г) Чтобы сравнить $100^{200}$ и $200^{100}$, приведем их к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 200 и 100 равен 100.

Представим $100^{200}$ в виде степени с показателем 100:

$100^{200} = 100^{2 \times 100} = (100^2)^{100} = 10000^{100}$.

Теперь сравним $10000^{100}$ и $200^{100}$.

Поскольку показатели степеней одинаковы (равны 100), достаточно сравнить их основания. Так как $10000 > 200$, то $10000^{100} > 200^{100}$.

Следовательно, $100^{200} > 200^{100}$.

Ответ: $100^{200} > 200^{100}$.

д) Сравним числа $1999^{2000}$ и $1998^{1999}$.

Рассмотрим отношение этих двух чисел:

$\frac{1999^{2000}}{1998^{1999}} = \frac{1999 \times 1999^{1999}}{1998^{1999}} = 1999 \times (\frac{1999}{1998})^{1999}$.

Оценим множитель $(\frac{1999}{1998})^{1999}$.

Дробь $\frac{1999}{1998}$ очевидно больше 1. Можно записать ее в виде $1 + \frac{1}{1998}$.

Так как основание степени $1 + \frac{1}{1998} > 1$, то при возведении в положительную степень 1999 результат также будет больше 1.

Таким образом, $(\frac{1999}{1998})^{1999} > 1$.

Теперь вернемся к исходному отношению:

$1999 \times (\frac{1999}{1998})^{1999} > 1999 \times 1 = 1999$.

Мы получили, что отношение $\frac{1999^{2000}}{1998^{1999}} > 1999$, и, следовательно, оно больше 1.

Если отношение двух положительных чисел больше 1, то числитель больше знаменателя.

Значит, $1999^{2000} > 1998^{1999}$.

Ответ: $1999^{2000} > 1998^{1999}$.

595. Представьте в виде степени с основанием $a^2$:

а) $(a^5)^2$;

б) $(a^3)^4$;

в) $(a^6)^7$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Нам нужно представить каждое выражение в виде $(a^2)^k$ для некоторого числа $k$.

а)

Сначала упростим данное выражение:

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$

Теперь представим $a^{10}$ в виде степени с основанием $a^2$. Мы можем переписать показатель 10 как произведение $2 \cdot 5$:

$a^{10} = a^{2 \cdot 5}$

Используя свойство степени в обратном порядке, получаем:

$a^{2 \cdot 5} = (a^2)^5$

Ответ: $(a^2)^5$

б)

Упростим выражение $(a^3)^4$:

$(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$

Теперь представим $a^{12}$ в виде степени с основанием $a^2$. Для этого запишем показатель 12 как $2 \cdot 6$:

$a^{12} = a^{2 \cdot 6}$

Применяем свойство степени:

$a^{2 \cdot 6} = (a^2)^6$

Ответ: $(a^2)^6$

в)

Упростим выражение $(a^6)^7$:

$(a^6)^7 = a^{6 \cdot 7} = a^{42}$

Представим $a^{42}$ в виде степени с основанием $a^2$. Показатель 42 можно записать как $2 \cdot 21$:

$a^{42} = a^{2 \cdot 21}$

Используя свойство возведения степени в степень, получаем:

$a^{2 \cdot 21} = (a^2)^{21}$

Ответ: $(a^2)^{21}$

596. Представьте $a^{50}$ в виде степени с основанием:

а) $a^5$;

б) $a^2$;

в) $a^{10}$.

Для решения этой задачи используется свойство возведения степени в степень: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$. Нам нужно представить выражение $a^{50}$ в виде степени с новым основанием. Для этого мы ищем такой показатель $n$, чтобы при возведении нового основания в эту степень получалось исходное выражение. Иными словами, мы решаем уравнение $k \cdot n = 50$, где $k$ — это показатель степени в новом основании.

а) $a^5$;

Требуется представить $a^{50}$ в виде степени с основанием $a^5$. Запишем искомое выражение в виде $(a^5)^n$.
Согласно свойству степеней, $(a^5)^n = a^{5 \cdot n}$.
Чтобы получить исходное выражение $a^{50}$, должно выполняться равенство:
$a^{5 \cdot n} = a^{50}$
Приравниваем показатели степеней:
$5 \cdot n = 50$
Находим $n$, разделив 50 на 5:
$n = \frac{50}{5} = 10$
Следовательно, искомое представление имеет вид $(a^5)^{10}$.
Ответ: $(a^5)^{10}$.

б) $a^2$;

Требуется представить $a^{50}$ в виде степени с основанием $a^2$. Запишем искомое выражение в виде $(a^2)^n$.
Согласно свойству степеней, $(a^2)^n = a^{2 \cdot n}$.
Чтобы получить исходное выражение $a^{50}$, должно выполняться равенство:
$a^{2 \cdot n} = a^{50}$
Приравниваем показатели степеней:
$2 \cdot n = 50$
Находим $n$, разделив 50 на 2:
$n = \frac{50}{2} = 25$
Следовательно, искомое представление имеет вид $(a^2)^{25}$.
Ответ: $(a^2)^{25}$.

в) $a^{10}$.

Требуется представить $a^{50}$ в виде степени с основанием $a^{10}$. Запишем искомое выражение в виде $(a^{10})^n$.
Согласно свойству степеней, $(a^{10})^n = a^{10 \cdot n}$.
Чтобы получить исходное выражение $a^{50}$, должно выполняться равенство:
$a^{10 \cdot n} = a^{50}$
Приравниваем показатели степеней:
$10 \cdot n = 50$
Находим $n$, разделив 50 на 10:
$n = \frac{50}{10} = 5$
Следовательно, искомое представление имеет вид $(a^{10})^5$.
Ответ: $(a^{10})^5$.

597. Представьте в виде квадрата:

а) $a^4$;

б) $a^{20}$;

в) $a^{50}$.

Для того чтобы представить выражение в виде квадрата, необходимо найти такое основание, которое при возведении во вторую степень даст исходное выражение. Мы будем использовать свойство степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Чтобы представить $a^k$ в виде квадрата, нам нужно найти такое число $m$, что $(a^m)^2 = a^k$. Используя указанное выше свойство, мы получаем $a^{2m} = a^k$. Отсюда следует, что показатели степеней должны быть равны: $2m = k$, а значит $m = k/2$. Таким образом, для решения задачи нам нужно разделить показатель степени исходного выражения на 2.

а) Представим в виде квадрата выражение $a^4$.

Показатель степени равен 4. Чтобы найти показатель степени для основания квадрата, разделим 4 на 2:

$m = 4 / 2 = 2$

Следовательно, исходное выражение можно записать как квадрат $a^2$:

$a^4 = (a^2)^2$

Проверим: $(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.

Ответ: $(a^2)^2$

б) Представим в виде квадрата выражение $a^{20}$.

Показатель степени равен 20. Разделим его на 2:

$m = 20 / 2 = 10$

Следовательно, выражение можно представить в виде:

$a^{20} = (a^{10})^2$

Проверим: $(a^{10})^2 = a^{10 \cdot 2} = a^{20}$.

Ответ: $(a^{10})^2$

в) Представим в виде квадрата выражение $a^{50}$.

Показатель степени равен 50. Разделим его на 2:

$m = 50 / 2 = 25$

Следовательно, выражение можно представить в виде:

$a^{50} = (a^{25})^2$

Проверим: $(a^{25})^2 = a^{25 \cdot 2} = a^{50}$.

Ответ: $(a^{25})^2$

598. Разложите на два множителя хотя бы одним способом:

а) $7^{10}$;

б) $a^6$;

в) $(cd)^7$.

а) Чтобы разложить данное выражение на два множителя, воспользуемся свойством степени $x^{m+n} = x^m \cdot x^n$. Для этого необходимо представить показатель степени 10 в виде суммы двух чисел. Существует несколько вариантов, например, $10 = 1 + 9$ или $10 = 2 + 8$, или $10 = 5 + 5$. Выберем один из них, например $10 = 4 + 6$.
Тогда выражение $7^{10}$ можно представить в следующем виде:
$7^{10} = 7^{4+6} = 7^4 \cdot 7^6$.
Таким образом, мы разложили $7^{10}$ на два множителя: $7^4$ и $7^6$.
Ответ: $7^4 \cdot 7^6$.

б) Аналогично предыдущему пункту, разложим на множители выражение $a^6$. Представим показатель степени 6 в виде суммы двух слагаемых. Например, $6 = 2 + 4$.
Используя свойство степеней, получим:
$a^6 = a^{2+4} = a^2 \cdot a^4$.
Также можно было использовать разложение $6 = 3+3$, что дало бы $a^6 = a^3 \cdot a^3$. Оба варианта являются верными.
Ответ: $a^2 \cdot a^4$.

в) Выражение $(cd)^7$ можно разложить на множители, используя одно из двух свойств степеней.
Первый способ аналогичен предыдущим пунктам. Представим показатель 7 в виде суммы, например, $7 = 3 + 4$:
$(cd)^7 = (cd)^{3+4} = (cd)^3 \cdot (cd)^4$.
Второй способ основан на свойстве возведения произведения в степень: $(xy)^n = x^n \cdot y^n$. Применив его, получаем:
$(cd)^7 = c^7 \cdot d^7$.
Этот способ также раскладывает исходное выражение на два множителя: $c^7$ и $d^7$.
Ответ: $c^7 \cdot d^7$.

599. Разложите на три множителя хотя бы одним способом:

а) $5^6$;

б) $b^5$;

в) $(ab)^4$.

а) Чтобы разложить выражение $5^6$ на три множителя, необходимо представить его в виде произведения трех сомножителей. Для этого можно использовать основное свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Представим показатель степени 6 в виде суммы трех натуральных чисел, например, $6 = 1 + 2 + 3$.
Тогда получим:
$5^6 = 5^{1+2+3} = 5^1 \cdot 5^2 \cdot 5^3$.
Таким образом, мы разложили $5^6$ на три множителя: $5$, $5^2$ и $5^3$.
Ответ: $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3$

б) Аналогично предыдущему пункту, разложим на три множителя выражение $b^5$. Представим показатель степени 5 в виде суммы трех натуральных чисел. Например, $5 = 1 + 2 + 2$.
Тогда:
$b^5 = b^{1+2+2} = b^1 \cdot b^2 \cdot b^2$.
Множители в данном случае: $b$, $b^2$ и $b^2$.
Ответ: $b \cdot b^2 \cdot b^2$

в) Для разложения выражения $(ab)^4$ на три множителя применим тот же метод. Представим показатель степени 4 в виде суммы трех натуральных чисел, например, $4 = 1 + 1 + 2$.
Тогда:
$(ab)^4 = (ab)^{1+1+2} = (ab)^1 \cdot (ab)^1 \cdot (ab)^2$.
В результате получаем три множителя: $(ab)$, $(ab)$ и $(ab)^2$.
Ответ: $(ab) \cdot (ab) \cdot (ab)^2$