Страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

618. Вычислите:

а) $\frac{2000^{-3} - 1999^{-3}}{2000^{-2} + 2000^{-1} \cdot 1999^{-1} + 1999^{-2}}$;

б) $\frac{1222^{-3} + 777^{-3}}{1222^{-2} - 1222^{-1} \cdot 777^{-1} + 777^{-2}}$

а) Рассмотрим выражение: $$ \frac{2000^{-3} - 1999^{-3}}{2000^{-2} + 2000^{-1} \cdot 1999^{-1} + 1999^{-2}} $$

Для упрощения введем замену. Пусть $a = 2000^{-1}$ и $b = 1999^{-1}$. Тогда числитель примет вид $a^3 - b^3$, а знаменатель — $a^2 + ab + b^2$.

Все выражение можно переписать как: $$ \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $$

Применим формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Подставим эту формулу в наше выражение и сократим дробь: $$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} = a-b $$

Теперь вернемся к исходным переменным, выполнив обратную замену: $$ a - b = 2000^{-1} - 1999^{-1} $$

Вычислим значение этого выражения: $$ \frac{1}{2000} - \frac{1}{1999} = \frac{1999 - 2000}{2000 \cdot 1999} = \frac{-1}{3998000} $$

Ответ: $-\frac{1}{3998000}$.

б) Рассмотрим выражение: $$ \frac{1222^{-3} + 777^{-3}}{1222^{-2} - 1222^{-1} \cdot 777^{-1} + 777^{-2}} $$

Аналогично предыдущему пункту, введем замену. Пусть $a = 1222^{-1}$ и $b = 777^{-1}$. Тогда числитель станет $a^3 + b^3$, а знаменатель — $a^2 - ab + b^2$.

Выражение примет вид: $$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} $$

Применим формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Подставим эту формулу и сократим дробь: $$ \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2} = a+b $$

Выполним обратную замену: $$ a+b = 1222^{-1} + 777^{-1} $$

Вычислим значение: $$ \frac{1}{1222} + \frac{1}{777} = \frac{777 + 1222}{1222 \cdot 777} = \frac{1999}{949494} $$

Ответ: $\frac{1999}{949494}$.

619. Упростите выражение:

а) $\frac{\frac{2a}{1-a}}{1 - \left(\frac{1-a}{2a}\right)^{-1}}$;

б) $\frac{\frac{2a}{2-a}}{2 - \left(\frac{2-a}{2a}\right)^{-1}}$;

в) $\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3}\right)^{-1} + \left(\frac{3}{x+3} - \frac{3}{x}\right)^{-1}$;

г) $\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}\right)^{-1} + \left(\frac{4}{x-1} - \frac{4}{x}\right)^{-1}$.

а)

Исходное выражение: $ \frac{\frac{2a}{1-a}}{1 - (\frac{1-a}{2a})^{-1}} $.
Сначала упростим знаменатель. По свойству степени $ (x)^{-1} = \frac{1}{x} $, выражение в скобках в знаменателе можно переписать так:
$ (\frac{1-a}{2a})^{-1} = \frac{2a}{1-a} $.
Теперь подставим это обратно в знаменатель исходного выражения:
$ 1 - \frac{2a}{1-a} $.
Приведем к общему знаменателю $ (1-a) $:
$ \frac{1 \cdot (1-a)}{1-a} - \frac{2a}{1-a} = \frac{1-a-2a}{1-a} = \frac{1-3a}{1-a} $.
Теперь все выражение представляет собой деление двух дробей:
$ \frac{\frac{2a}{1-a}}{\frac{1-3a}{1-a}} $.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$ \frac{2a}{1-a} \cdot \frac{1-a}{1-3a} $.
Сокращаем общий множитель $ (1-a) $ в числителе и знаменателе (при условии $ a \neq 1 $):
$ \frac{2a}{1-3a} $.

Ответ: $ \frac{2a}{1-3a} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{\frac{2a}{2-a}}{2 - (\frac{2-a}{2a})^{-1}} $.
Упростим выражение в скобках в знаменателе, используя свойство отрицательной степени:
$ (\frac{2-a}{2a})^{-1} = \frac{2a}{2-a} $.
Подставим это в знаменатель:
$ 2 - \frac{2a}{2-a} $.
Приведем к общему знаменателю $ (2-a) $:
$ \frac{2 \cdot (2-a)}{2-a} - \frac{2a}{2-a} = \frac{4-2a-2a}{2-a} = \frac{4-4a}{2-a} = \frac{4(1-a)}{2-a} $.
Теперь разделим числитель исходного выражения на полученный знаменатель:
$ \frac{\frac{2a}{2-a}}{\frac{4(1-a)}{2-a}} = \frac{2a}{2-a} \cdot \frac{2-a}{4(1-a)} $.
Сокращаем общий множитель $ (2-a) $ (при условии $ a \neq 2 $):
$ \frac{2a}{4(1-a)} $.
Сокращаем дробь на 2:
$ \frac{a}{2(1-a)} $.

Ответ: $ \frac{a}{2(1-a)} $

в)

Исходное выражение: $ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3})^{-1} + (\frac{3}{x+3} - \frac{3}{x})^{-1} $.
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3})^{-1} $.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ x(x+3) $:
$ \frac{1(x+3) - 1x}{x(x+3)} = \frac{x+3-x}{x(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)} $.
Теперь возведем в степень -1:
$ (\frac{3}{x(x+3)})^{-1} = \frac{x(x+3)}{3} $.
Второе слагаемое: $ (\frac{3}{x+3} - \frac{3}{x})^{-1} $.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ x(x+3) $:
$ \frac{3x - 3(x+3)}{x(x+3)} = \frac{3x-3x-9}{x(x+3)} = \frac{-9}{x(x+3)} $.
Возведем в степень -1:
$ (\frac{-9}{x(x+3)})^{-1} = \frac{x(x+3)}{-9} = -\frac{x(x+3)}{9} $.
Теперь сложим результаты:
$ \frac{x(x+3)}{3} - \frac{x(x+3)}{9} $.
Приведем к общему знаменателю 9:
$ \frac{3 \cdot x(x+3)}{9} - \frac{x(x+3)}{9} = \frac{3x(x+3) - x(x+3)}{9} = \frac{2x(x+3)}{9} $.

Ответ: $ \frac{2x(x+3)}{9} $

г)

Исходное выражение: $ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1})^{-1} + (\frac{4}{x-1} - \frac{4}{x})^{-1} $.
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.
Первое слагаемое: $ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1})^{-1} $.
Приводим к общему знаменателю $ x(x-1) $:
$ \frac{1(x-1) - 1x}{x(x-1)} = \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} $.
Возводим в степень -1:
$ (\frac{-1}{x(x-1)})^{-1} = \frac{x(x-1)}{-1} = -x(x-1) $.
Второе слагаемое: $ (\frac{4}{x-1} - \frac{4}{x})^{-1} $.
Приводим к общему знаменателю $ x(x-1) $:
$ \frac{4x - 4(x-1)}{x(x-1)} = \frac{4x-4x+4}{x(x-1)} = \frac{4}{x(x-1)} $.
Возводим в степень -1:
$ (\frac{4}{x(x-1)})^{-1} = \frac{x(x-1)}{4} $.
Теперь сложим полученные выражения:
$ -x(x-1) + \frac{x(x-1)}{4} $.
Вынесем общий множитель $ x(x-1) $ за скобки:
$ x(x-1) (-1 + \frac{1}{4}) = x(x-1) (-\frac{3}{4}) = -\frac{3x(x-1)}{4} $.

Ответ: $ -\frac{3x(x-1)}{4} $

620. Упростите выражение:

а) $\frac{2a^{-2}}{3 - a^{-2}} - \frac{2a^{-2}}{3 + a^{-2}}$ и найдите его значение при $a = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$;

б) $\frac{2a^{-2}}{1 - a^{-2}} + \frac{2a^{-2}}{1 + a^{-2}}$ и найдите его значение при $a = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1}$;

в) $\left(\frac{a^{-2}}{2 - a^{-2}}\right)^{-2} - \left(\frac{a^{-2}}{2 + a^{-2}}\right)^{-2}$ и найдите его значение при $a = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$;

г) $\left(\frac{2a^{-2}}{5 - a^{-2}}\right)^{-2} - \left(\frac{2a^{-2}}{5 + a^{-2}}\right)^{-2}$ и найдите его значение при $a = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$.

а) Упростим выражение $\frac{2a^{-2}}{3 - a^{-2}} - \frac{2a^{-2}}{3 + a^{-2}}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(3 - a^{-2})(3 + a^{-2})$. Это формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, поэтому знаменатель равен $3^2 - (a^{-2})^2 = 9 - a^{-4}$.

$\frac{2a^{-2}(3 + a^{-2}) - 2a^{-2}(3 - a^{-2})}{(3 - a^{-2})(3 + a^{-2})} = \frac{(6a^{-2} + 2a^{-4}) - (6a^{-2} - 2a^{-4})}{9 - a^{-4}}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6a^{-2} + 2a^{-4} - 6a^{-2} + 2a^{-4}}{9 - a^{-4}} = \frac{4a^{-4}}{9 - a^{-4}}$

Теперь найдем значение этого выражения при $a = (\frac{1}{2})^{-1}$.

Сначала вычислим значение $a$: $a = (\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$.

Подставим $a=2$ в упрощенное выражение. Для этого найдем значение $a^{-4}$: $a^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.

$\frac{4 \cdot \frac{1}{16}}{9 - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{4}{16}}{\frac{144}{16} - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{143}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{143} = \frac{4}{143}$.

Ответ: $\frac{4}{143}$.

б) Упростим выражение $\frac{2a^{-2}}{1 - a^{-2}} + \frac{2a^{-2}}{1 + a^{-2}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - a^{-2})(1 + a^{-2})$, который по формуле разности квадратов равен $1^2 - (a^{-2})^2 = 1 - a^{-4}$.

$\frac{2a^{-2}(1 + a^{-2}) + 2a^{-2}(1 - a^{-2})}{(1 - a^{-2})(1 + a^{-2})} = \frac{(2a^{-2} + 2a^{-4}) + (2a^{-2} - 2a^{-4})}{1 - a^{-4}}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2a^{-2} + 2a^{-4} + 2a^{-2} - 2a^{-4}}{1 - a^{-4}} = \frac{4a^{-2}}{1 - a^{-4}}$

Теперь найдем значение этого выражения при $a = (\frac{1}{5})^{-1}$.

Сначала вычислим значение $a$: $a = (\frac{1}{5})^{-1} = 5^1 = 5$.

Подставим $a=5$ в упрощенное выражение. Найдем значения $a^{-2}$ и $a^{-4}$: $a^{-2} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$ и $a^{-4} = 5^{-4} = \frac{1}{625}$.

$\frac{4 \cdot \frac{1}{25}}{1 - \frac{1}{625}} = \frac{\frac{4}{25}}{\frac{625}{625} - \frac{1}{625}} = \frac{\frac{4}{25}}{\frac{624}{625}} = \frac{4}{25} \cdot \frac{625}{624} = \frac{4 \cdot 25}{624} = \frac{100}{624}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{100 \div 4}{624 \div 4} = \frac{25}{156}$.

Ответ: $\frac{25}{156}$.

в) Упростим выражение $(\frac{a^{-2}}{2 - a^{-2}})^{-2} - (\frac{a^{-2}}{2 + a^{-2}})^{-2}$.

Воспользуемся свойством степени $(x/y)^{-n} = (y/x)^n$, чтобы избавиться от отрицательного показателя степени:

$(\frac{2 - a^{-2}}{a^{-2}})^{2} - (\frac{2 + a^{-2}}{a^{-2}})^{2}$

Это выражение является разностью квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = \frac{2 - a^{-2}}{a^{-2}}$ и $B = \frac{2 + a^{-2}}{a^{-2}}$.

Найдем $A-B$ и $A+B$:

$A-B = \frac{2 - a^{-2}}{a^{-2}} - \frac{2 + a^{-2}}{a^{-2}} = \frac{2 - a^{-2} - 2 - a^{-2}}{a^{-2}} = \frac{-2a^{-2}}{a^{-2}} = -2$.

$A+B = \frac{2 - a^{-2}}{a^{-2}} + \frac{2 + a^{-2}}{a^{-2}} = \frac{2 - a^{-2} + 2 + a^{-2}}{a^{-2}} = \frac{4}{a^{-2}} = 4a^2$.

Теперь перемножим полученные выражения: $(A-B)(A+B) = (-2)(4a^2) = -8a^2$.

Найдем значение выражения при $a = (\frac{1}{2})^{-2}$.

Вычислим $a$: $a = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Подставим $a=4$ в упрощенное выражение: $-8a^2 = -8 \cdot (4^2) = -8 \cdot 16 = -128$.

Ответ: -128.

г) Упростим выражение $(\frac{2a^{-2}}{5 - a^{-2}})^{-2} - (\frac{2a^{-2}}{5 + a^{-2}})^{-2}$.

Применим свойство степени $(x/y)^{-n} = (y/x)^n$:

$(\frac{5 - a^{-2}}{2a^{-2}})^{2} - (\frac{5 + a^{-2}}{2a^{-2}})^{2}$

Это выражение является разностью квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = \frac{5 - a^{-2}}{2a^{-2}}$ и $B = \frac{5 + a^{-2}}{2a^{-2}}$.

Найдем $A-B$ и $A+B$:

$A-B = \frac{5 - a^{-2}}{2a^{-2}} - \frac{5 + a^{-2}}{2a^{-2}} = \frac{5 - a^{-2} - 5 - a^{-2}}{2a^{-2}} = \frac{-2a^{-2}}{2a^{-2}} = -1$.

$A+B = \frac{5 - a^{-2}}{2a^{-2}} + \frac{5 + a^{-2}}{2a^{-2}} = \frac{5 - a^{-2} + 5 + a^{-2}}{2a^{-2}} = \frac{10}{2a^{-2}} = \frac{5}{a^{-2}} = 5a^2$.

Перемножим полученные выражения: $(A-B)(A+B) = (-1)(5a^2) = -5a^2$.

Найдем значение выражения при $a = (\frac{1}{2})^{-2}$.

Вычислим $a$: $a = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Подставим $a=4$ в упрощенное выражение: $-5a^2 = -5 \cdot (4^2) = -5 \cdot 16 = -80$.

Ответ: -80.

621. Найдите значение выражения:

a) $\frac{3x^{-2} + 2y^{-2}}{2x^{-2} + 3y^{-2}}$, если $\frac{x}{y} = 2^{-1}$;

б) $\frac{3x^{-2} - 2y^{-2}}{2x^{-2} - 3y^{-2}}$, если $\frac{x}{y} = 3^{-1}$.

а) Для того чтобы найти значение выражения, сначала преобразуем данное условие и само выражение.
Условие: $ \frac{x}{y} = 2^{-1} $. Используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $. Таким образом, $ \frac{x}{y} = \frac{1}{2} $.
Теперь преобразуем исходное выражение: $ \frac{3x^{-2} + 2y^{-2}}{2x^{-2} + 3y^{-2}} $.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $ y^{-2} $. Это позволит нам использовать известное отношение $ \frac{x}{y} $.
$ \frac{3x^{-2} + 2y^{-2}}{2x^{-2} + 3y^{-2}} = \frac{\frac{3x^{-2}}{y^{-2}} + \frac{2y^{-2}}{y^{-2}}}{\frac{2x^{-2}}{y^{-2}} + \frac{3y^{-2}}{y^{-2}}} $
Используя свойство степеней $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $, получаем $ \frac{x^{-2}}{y^{-2}} = (\frac{x}{y})^{-2} $.
Выражение принимает вид:
$ \frac{3(\frac{x}{y})^{-2} + 2}{2(\frac{x}{y})^{-2} + 3} $
Теперь найдем значение $ (\frac{x}{y})^{-2} $, зная, что $ \frac{x}{y} = \frac{1}{2} $:
$ (\frac{x}{y})^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^{2} = 2^2 = 4 $
Подставим полученное значение в преобразованное выражение:
$ \frac{3 \cdot 4 + 2}{2 \cdot 4 + 3} = \frac{12 + 2}{8 + 3} = \frac{14}{11} $
Ответ: $ \frac{14}{11} $

б) Аналогично пункту а), сначала преобразуем данное условие и выражение.
Условие: $ \frac{x}{y} = 3^{-1} $. Используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем $ 3^{-1} = \frac{1}{3} $. Таким образом, $ \frac{x}{y} = \frac{1}{3} $.
Преобразуем исходное выражение: $ \frac{3x^{-2} - 2y^{-2}}{2x^{-2} - 3y^{-2}} $.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $ y^{-2} $:
$ \frac{3x^{-2} - 2y^{-2}}{2x^{-2} - 3y^{-2}} = \frac{\frac{3x^{-2}}{y^{-2}} - \frac{2y^{-2}}{y^{-2}}}{\frac{2x^{-2}}{y^{-2}} - \frac{3y^{-2}}{y^{-2}}} = \frac{3(\frac{x}{y})^{-2} - 2}{2(\frac{x}{y})^{-2} - 3} $
Теперь найдем значение $ (\frac{x}{y})^{-2} $, зная, что $ \frac{x}{y} = \frac{1}{3} $:
$ (\frac{x}{y})^{-2} = (\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{3}{1})^{2} = 3^2 = 9 $
Подставим полученное значение в преобразованное выражение:
$ \frac{3 \cdot 9 - 2}{2 \cdot 9 - 3} = \frac{27 - 2}{18 - 3} = \frac{25}{15} $
Сократим полученную дробь на 5:
$ \frac{25}{15} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{3} $
Ответ: $ \frac{5}{3} $