Номер 621, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 621, страница 161.

Условие.

621. Найдите значение выражения:

a) $\frac{3x^{-2} + 2y^{-2}}{2x^{-2} + 3y^{-2}}$, если $\frac{x}{y} = 2^{-1}$;

б) $\frac{3x^{-2} - 2y^{-2}}{2x^{-2} - 3y^{-2}}$, если $\frac{x}{y} = 3^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для того чтобы найти значение выражения, сначала преобразуем данное условие и само выражение.
Условие: $ \frac{x}{y} = 2^{-1} $. Используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $. Таким образом, $ \frac{x}{y} = \frac{1}{2} $.
Теперь преобразуем исходное выражение: $ \frac{3x^{-2} + 2y^{-2}}{2x^{-2} + 3y^{-2}} $.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $ y^{-2} $. Это позволит нам использовать известное отношение $ \frac{x}{y} $.
$ \frac{3x^{-2} + 2y^{-2}}{2x^{-2} + 3y^{-2}} = \frac{\frac{3x^{-2}}{y^{-2}} + \frac{2y^{-2}}{y^{-2}}}{\frac{2x^{-2}}{y^{-2}} + \frac{3y^{-2}}{y^{-2}}} $
Используя свойство степеней $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $, получаем $ \frac{x^{-2}}{y^{-2}} = (\frac{x}{y})^{-2} $.
Выражение принимает вид:
$ \frac{3(\frac{x}{y})^{-2} + 2}{2(\frac{x}{y})^{-2} + 3} $
Теперь найдем значение $ (\frac{x}{y})^{-2} $, зная, что $ \frac{x}{y} = \frac{1}{2} $:
$ (\frac{x}{y})^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^{2} = 2^2 = 4 $
Подставим полученное значение в преобразованное выражение:
$ \frac{3 \cdot 4 + 2}{2 \cdot 4 + 3} = \frac{12 + 2}{8 + 3} = \frac{14}{11} $
Ответ: $ \frac{14}{11} $

б) Аналогично пункту а), сначала преобразуем данное условие и выражение.
Условие: $ \frac{x}{y} = 3^{-1} $. Используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем $ 3^{-1} = \frac{1}{3} $. Таким образом, $ \frac{x}{y} = \frac{1}{3} $.
Преобразуем исходное выражение: $ \frac{3x^{-2} - 2y^{-2}}{2x^{-2} - 3y^{-2}} $.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $ y^{-2} $:
$ \frac{3x^{-2} - 2y^{-2}}{2x^{-2} - 3y^{-2}} = \frac{\frac{3x^{-2}}{y^{-2}} - \frac{2y^{-2}}{y^{-2}}}{\frac{2x^{-2}}{y^{-2}} - \frac{3y^{-2}}{y^{-2}}} = \frac{3(\frac{x}{y})^{-2} - 2}{2(\frac{x}{y})^{-2} - 3} $
Теперь найдем значение $ (\frac{x}{y})^{-2} $, зная, что $ \frac{x}{y} = \frac{1}{3} $:
$ (\frac{x}{y})^{-2} = (\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{3}{1})^{2} = 3^2 = 9 $
Подставим полученное значение в преобразованное выражение:
$ \frac{3 \cdot 9 - 2}{2 \cdot 9 - 3} = \frac{27 - 2}{18 - 3} = \frac{25}{15} $
Сократим полученную дробь на 5:
$ \frac{25}{15} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{3} $
Ответ: $ \frac{5}{3} $