Номер 627, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость многочленов. Дополнения к главе 2. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 627, страница 167.

Условие.

627. Сократите дробь:

а) $ \frac{x^3 - x^2 + x + 3}{x^2 - 2x + 3} $;

б) $ \frac{x^3 + x^2 + 3x - 5}{x^2 + 2x + 5} $;

в) $ \frac{x^3 - 1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1} $;

г) $ \frac{x^3 + 8}{x^3 - 4x^2 + 8x - 8} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $ \frac{x^3 - x^2 + x + 3}{x^2 - 2x + 3} $

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Рассмотрим знаменатель $ x^2 - 2x + 3 $. Найдем его дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 $. Так как дискриминант меньше нуля ($ D < 0 $), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители.

Если дробь сократима, то числитель $ x^3 - x^2 + x + 3 $ должен делиться на знаменатель $ x^2 - 2x + 3 $. Выполним деление многочленов столбиком:

$ (x^3 - x^2 + x + 3) \div (x^2 - 2x + 3) = x + 1 $.

Это означает, что $ x^3 - x^2 + x + 3 = (x^2 - 2x + 3)(x + 1) $.

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь:
$ \frac{(x^2 - 2x + 3)(x + 1)}{x^2 - 2x + 3} $

Поскольку выражение $ x^2 - 2x + 3 $ никогда не равно нулю для действительных значений $ x $, мы можем сократить дробь на этот множитель.
Ответ: $ x + 1 $.

б) $ \frac{x^3 + x^2 + 3x - 5}{x^2 + 2x + 5} $

Аналогично предыдущему пункту, начнем со знаменателя $ x^2 + 2x + 5 $. Его дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 $. Дискриминант отрицательный, значит, знаменатель не раскладывается на линейные множители.

Проверим, делится ли числитель $ x^3 + x^2 + 3x - 5 $ на знаменатель $ x^2 + 2x + 5 $ с помощью деления столбиком:

$ (x^3 + x^2 + 3x - 5) \div (x^2 + 2x + 5) = x - 1 $.

Следовательно, $ x^3 + x^2 + 3x - 5 = (x^2 + 2x + 5)(x - 1) $.

Подставим это в дробь:
$ \frac{(x^2 + 2x + 5)(x - 1)}{x^2 + 2x + 5} $

Выражение $ x^2 + 2x + 5 $ не равно нулю, поэтому мы можем сократить дробь на него.
Ответ: $ x - 1 $.

в) $ \frac{x^3 - 1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1} $

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $ x^3 - 1 $ является разностью кубов. Используем формулу $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:
$ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $.

Для разложения знаменателя $ x^3 + 2x^2 + 2x + 1 $ можно сгруппировать слагаемые:
$ x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + (2x^2 + 2x) $
Применим формулу суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $ и вынесем общий множитель:
$ (x + 1)(x^2 - x + 1) + 2x(x + 1) = (x + 1)( (x^2 - x + 1) + 2x ) = (x + 1)(x^2 + x + 1) $.

Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x + 1)(x^2 + x + 1)} $

Общий множитель $ x^2 + x + 1 $ можно сократить, так как его дискриминант $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 $, и он не равен нулю.
Ответ: $ \frac{x - 1}{x + 1} $.

г) $ \frac{x^3 + 8}{x^3 - 4x^2 + 8x - 8} $

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $ x^3 + 8 $ является суммой кубов. Используем формулу $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $:
$ x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) $.

Для разложения знаменателя $ x^3 - 4x^2 + 8x - 8 $ сгруппируем слагаемые:
$ x^3 - 4x^2 + 8x - 8 = (x^3 - 8) - (4x^2 - 8x) $
Применим формулу разности кубов и вынесем общий множитель:
$ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - 4x(x - 2) = (x - 2)( (x^2 + 2x + 4) - 4x ) = (x - 2)(x^2 - 2x + 4) $.

Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 - 2x + 4)} $

Общий множитель $ x^2 - 2x + 4 $ можно сократить, так как его дискриминант $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0 $, и он не равен нулю.
Ответ: $ \frac{x + 2}{x - 2} $.