Номер 625, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость многочленов. Дополнения к главе 2. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 625, страница 167.

Условие.

625. Разделите с остатком многочлен:

a) $x^3 - 4x^2 + x + 6$ на $x + 1$; на $x - 2$; на $x - 3$;

б) $x^4 + 2x^3 + x^2 + 6$ на $x^2 + x + 1$; на $x^2 + x - 1$; на $x + 2$;

в) $x^5 - 1$ на $x^4 + 1$; на $x^3 - 1$; на $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Делим многочлен $x^3 - 4x^2 + x + 6$:

1. На $x + 1$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6) + 0$.
Ответ: неполное частное $x^2 - 5x + 6$, остаток $0$.

2. На $x - 2$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 2)(x^2 - 2x - 3) + 0$.
Ответ: неполное частное $x^2 - 2x - 3$, остаток $0$.

3. На $x - 3$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 3)(x^2 - x - 2) + 0$.
Ответ: неполное частное $x^2 - x - 2$, остаток $0$.

б) Делим многочлен $x^4 + 2x^3 + x^2 + 6$:

1. На $x^2 + x + 1$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^4 + 2x^3 + x^2 + 6 = (x^2 + x + 1)(x^2 + x - 1) + 7$.
Ответ: неполное частное $x^2 + x - 1$, остаток $7$.

2. На $x^2 + x - 1$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^4 + 2x^3 + x^2 + 6 = (x^2 + x - 1)(x^2 + x + 1) + 7$.
Ответ: неполное частное $x^2 + x + 1$, остаток $7$.

3. На $x + 2$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^4 + 2x^3 + x^2 + 6 = (x + 2)(x^3 + x - 2) + 10$.
Ответ: неполное частное $x^3 + x - 2$, остаток $10$.

в) Делим многочлен $x^5 - 1$:

1. На $x^4 + 1$.
Представим делимое как $x^5 - 1 = x \cdot x^4 - 1 = x(x^4 + 1) - x - 1$.
Отсюда получаем равенство:
$x^5 - 1 = (x^4 + 1) \cdot x + (-x - 1)$.
Ответ: неполное частное $x$, остаток $-x - 1$.

2. На $x^3 - 1$.
Представим делимое как $x^5 - 1 = x^2 \cdot x^3 - 1 = x^2(x^3 - 1) + x^2 - 1$.
Отсюда получаем равенство:
$x^5 - 1 = (x^3 - 1) \cdot x^2 + (x^2 - 1)$.
Ответ: неполное частное $x^2$, остаток $x^2 - 1$.

3. На $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Используем формулу разности степеней $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
Для $n=5$ имеем $x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.
Отсюда видно, что многочлен $x^5 - 1$ делится на $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ без остатка.
$x^5 - 1 = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1) + 0$.
Ответ: неполное частное $x - 1$, остаток $0$.