Страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

622. Доказываем. Докажите формулу разложения на множители для:

а) $a^5 - b^5$;

б) $a^6 - b^6$;

в) $a^5 + b^5$;

г) $a^7 + b^7$.

а) Чтобы доказать формулу разложения для $a^5 - b^5$, мы должны показать, что $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$. Для этого раскроем скобки в правой части равенства, умножив $(a-b)$ на $(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$: $ (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) - b(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = (a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4) - (a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5) $. Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые: $ a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 - a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 - b^5 = a^5 + (a^4b - a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (a^2b^3 - a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) - b^5 = a^5 - b^5 $. Мы получили исходное выражение $a^5 - b^5$, следовательно, формула верна. Ответ: $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$.

б) Для разложения выражения $a^6 - b^6$ представим его как разность квадратов $ (a^3)^2 - (b^3)^2 $. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^3$ и $y = b^3$: $ a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) $. Теперь применим известные формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $ (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2) $. Таким образом, мы разложили $a^6 - b^6$ на множители. Для доказательства достаточно убедиться, что произведение множителей равно исходному выражению. Мы уже показали, что $ (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = a^6 - b^6 $ путем раскрытия скобок: $ (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = a^3 \cdot a^3 + a^3 \cdot b^3 - b^3 \cdot a^3 - b^3 \cdot b^3 = a^6 + a^3b^3 - a^3b^3 - b^6 = a^6 - b^6 $. Формула доказана. Ответ: $a^6 - b^6 = (a - b)(a + b)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$.

в) Чтобы доказать формулу разложения для $a^5 + b^5$, мы должны показать, что $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$. Для этого раскроем скобки в правой части равенства: $ (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) + b(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = (a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4) + (a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5) $. Приведем подобные слагаемые, которые попарно уничтожаются: $ a^5 - a^4b + a^4b + a^3b^2 - a^3b^2 - a^2b^3 + a^2b^3 + ab^4 - ab^4 + b^5 = a^5 + (-a^4b + a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (-a^2b^3 + a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) + b^5 = a^5 + b^5 $. Мы получили исходное выражение $a^5 + b^5$, следовательно, формула верна. Ответ: $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.

г) Чтобы доказать формулу разложения для $a^7 + b^7$, мы должны показать, что $a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)$. Для этого раскроем скобки в правой части равенства: $ (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6) = a(a^6 - a^5b + \dots + b^6) + b(a^6 - a^5b + \dots + b^6) = (a^7 - a^6b + a^5b^2 - a^4b^3 + a^3b^4 - a^2b^5 + ab^6) + (a^6b - a^5b^2 + a^4b^3 - a^3b^4 + a^2b^5 - ab^6 + b^7) $. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, видим, что они взаимно уничтожаются: $ a^7 - a^6b + a^5b^2 - a^4b^3 + a^3b^4 - a^2b^5 + ab^6 + a^6b - a^5b^2 + a^4b^3 - a^3b^4 + a^2b^5 - ab^6 + b^7 = a^7 + (-a^6b + a^6b) + (a^5b^2 - a^5b^2) + \dots + (ab^6 - ab^6) + b^7 = a^7 + b^7 $. Мы получили исходное выражение $a^7 + b^7$, следовательно, формула верна. Ответ: $a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)$.

623. Сократите дробь:

а) $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$;

б) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$;

В) $\frac{a^5 - b^5}{a^3 - b^3}$;

Г) $\frac{a^5 + b^5}{a^7 + b^7}$;

Д) $\frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{a^4 - b^4}$;

е) $\frac{a^5 + b^5}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$;

Ж) $\frac{a^3 - 8}{a^4 - 16}$;

З) $\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9}$;

И) $\frac{a^5 - 32}{a^3 - 8}$;

К) $\frac{a^5 + 32}{a^7 + 128}$;

Л) $\frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 16}$;

М) $\frac{a^5 + 1}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель раскладывается по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов дважды: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}$.
Сокращаем общий множитель $(a - b)$.
Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{(a + b)(a^2 + b^2)}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$, разложим числитель на множители по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим разложение в дробь: $\frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2}$.
Сокращаем общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$.
Ответ: $a + b$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 - b^5}{a^3 - b^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$.
Знаменатель: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$.
Сокращаем общий множитель $(a - b)$.
Ответ: $\frac{a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4}{a^2 + ab + b^2}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 + b^5}{a^7 + b^7}$, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы суммы степеней для нечетных показателей.
Числитель: $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
Знаменатель: $a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)}{(a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)}$.
Сокращаем общий множитель $(a + b)$.
Ответ: $\frac{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}{a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{a^4 - b^4}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе сгруппируем слагаемые: $a^2(a + b) + b^2(a + b) = (a + b)(a^2 + b^2)$.
Знаменатель: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a + b)(a^2 + b^2)}{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}$.
Сокращаем общие множители $(a + b)$ и $(a^2 + b^2)$.
Ответ: $\frac{1}{a - b}$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 + b^5}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$, разложим числитель на множители.
Числитель: $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
Знаменатель является одним из множителей числителя.
Подставим разложение в дробь: $\frac{(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$.
Сокращаем общий множитель $(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
Ответ: $a + b$

ж) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - 8}{a^4 - 16}$, представим 8 как $2^3$ и 16 как $2^4$ и разложим на множители.
Числитель: $a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Знаменатель: $a^4 - 2^4 = (a^2 - 2^2)(a^2 + 2^2) = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)}$.
Сокращаем общий множитель $(a - 2)$.
Ответ: $\frac{a^2 + 2a + 4}{(a + 2)(a^2 + 4)}$

з) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9}$, представим 27 как $3^3$ и разложим числитель по формуле суммы кубов.
Числитель: $a^3 + 3^3 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$.
Знаменатель является одним из множителей числителя.
Подставим разложение в дробь: $\frac{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}{a^2 - 3a + 9}$.
Сокращаем общий множитель $(a^2 - 3a + 9)$.
Ответ: $a + 3$

и) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 - 32}{a^3 - 8}$, представим 32 как $2^5$ и 8 как $2^3$ и разложим на множители.
Числитель: $a^5 - 2^5 = (a - 2)(a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16)$.
Знаменатель: $a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a - 2)(a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$.
Сокращаем общий множитель $(a - 2)$.
Ответ: $\frac{a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16}{a^2 + 2a + 4}$

к) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 + 32}{a^7 + 128}$, представим 32 как $2^5$ и 128 как $2^7$ и разложим на множители.
Числитель: $a^5 + 2^5 = (a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)$.
Знаменатель: $a^7 + 2^7 = (a + 2)(a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)}{(a + 2)(a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64)}$.
Сокращаем общий множитель $(a + 2)$.
Ответ: $\frac{a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16}{a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64}$

л) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 16}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе сгруппируем слагаемые: $a^2(a + 2) + 4(a + 2) = (a + 2)(a^2 + 4)$.
Знаменатель: $a^4 - 16 = (a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a + 2)(a^2 + 4)}{(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)}$.
Сокращаем общие множители $(a + 2)$ и $(a^2 + 4)$.
Ответ: $\frac{1}{a - 2}$

м) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 + 1}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$, разложим числитель на множители.
Числитель: $a^5 + 1 = a^5 + 1^5 = (a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$.
Знаменатель является одним из множителей числителя.
Подставим разложение в дробь: $\frac{(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$.
Сокращаем общий множитель $(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$.
Ответ: $a + 1$

624. Сократима ли дробь:

а) $ \frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}} $;

б) $ \frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1} $?

а) Рассмотрим дробь $\frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}}$. Чтобы определить, является ли дробь сократимой, необходимо выяснить, имеют ли ее числитель и знаменатель общий делитель, отличный от единицы.

Воспользуемся известной формулой для суммы нечетных степеней: $x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 - \dots + y^{n-1})$. Эта формула верна для любого нечетного натурального числа $n$.

В числителе данной дроби показатель степени равен 1999, а в знаменателе — 1997. Оба этих числа являются нечетными. Следовательно, мы можем применить указанную формулу и к числителю, и к знаменателю.

Для числителя ($n=1999$):

$a^{1999} + b^{1999} = (a+b)(a^{1998} - a^{1997}b + \dots + b^{1998})$

Для знаменателя ($n=1997$):

$a^{1997} + b^{1997} = (a+b)(a^{1996} - a^{1995}b + \dots + b^{1996})$

Из этих разложений видно, что и числитель, и знаменатель имеют общий множитель $(a+b)$. Это означает, что дробь можно сократить на $(a+b)$ (при условии, что $a+b \neq \pm 1$ и знаменатель не обращается в ноль).

Ответ: Да, дробь сократима, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель $(a+b)$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1}$. Для проверки ее на сократимость найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.

Применим алгоритм Евклида для многочленов. Разделим числитель $a^{1999} - 1$ на знаменатель $a^{1998} - 1$ с остатком:

$a^{1999} - 1 = a \cdot (a^{1998} - 1) + a - 1$

Согласно алгоритму Евклида, НОД исходных многочленов равен НОД делителя и остатка от деления:

$\text{НОД}(a^{1999} - 1, a^{1998} - 1) = \text{НОД}(a^{1998} - 1, a - 1)$

Теперь необходимо проверить, делится ли многочлен $a^{1998} - 1$ на $a - 1$. Воспользуемся формулой разности степеней: $x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)$, которая верна для любого натурального $n$.

Применив эту формулу для $n=1998$, мы видим, что $a^{1998} - 1$ делится на $a-1$ без остатка:

$a^{1998} - 1 = (a-1)(a^{1997} + a^{1996} + \dots + a + 1)$

Следовательно, наибольший общий делитель многочленов $a^{1998} - 1$ и $a - 1$ есть $a-1$.

Таким образом, НОД числителя и знаменателя исходной дроби равен $a-1$. Наличие общего делителя (отличного от 1, если $a \ne 2$ и $a \ne 0$) означает, что дробь является сократимой.

Ответ: Да, дробь сократима, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель $(a-1)$.

625. Разделите с остатком многочлен:

a) $x^3 - 4x^2 + x + 6$ на $x + 1$; на $x - 2$; на $x - 3$;

б) $x^4 + 2x^3 + x^2 + 6$ на $x^2 + x + 1$; на $x^2 + x - 1$; на $x + 2$;

в) $x^5 - 1$ на $x^4 + 1$; на $x^3 - 1$; на $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

а) Делим многочлен $x^3 - 4x^2 + x + 6$:

1. На $x + 1$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6) + 0$.
Ответ: неполное частное $x^2 - 5x + 6$, остаток $0$.

2. На $x - 2$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 2)(x^2 - 2x - 3) + 0$.
Ответ: неполное частное $x^2 - 2x - 3$, остаток $0$.

3. На $x - 3$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 3)(x^2 - x - 2) + 0$.
Ответ: неполное частное $x^2 - x - 2$, остаток $0$.

б) Делим многочлен $x^4 + 2x^3 + x^2 + 6$:

1. На $x^2 + x + 1$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^4 + 2x^3 + x^2 + 6 = (x^2 + x + 1)(x^2 + x - 1) + 7$.
Ответ: неполное частное $x^2 + x - 1$, остаток $7$.

2. На $x^2 + x - 1$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^4 + 2x^3 + x^2 + 6 = (x^2 + x - 1)(x^2 + x + 1) + 7$.
Ответ: неполное частное $x^2 + x + 1$, остаток $7$.

3. На $x + 2$.
Выполняя деление многочленов, получаем равенство:
$x^4 + 2x^3 + x^2 + 6 = (x + 2)(x^3 + x - 2) + 10$.
Ответ: неполное частное $x^3 + x - 2$, остаток $10$.

в) Делим многочлен $x^5 - 1$:

1. На $x^4 + 1$.
Представим делимое как $x^5 - 1 = x \cdot x^4 - 1 = x(x^4 + 1) - x - 1$.
Отсюда получаем равенство:
$x^5 - 1 = (x^4 + 1) \cdot x + (-x - 1)$.
Ответ: неполное частное $x$, остаток $-x - 1$.

2. На $x^3 - 1$.
Представим делимое как $x^5 - 1 = x^2 \cdot x^3 - 1 = x^2(x^3 - 1) + x^2 - 1$.
Отсюда получаем равенство:
$x^5 - 1 = (x^3 - 1) \cdot x^2 + (x^2 - 1)$.
Ответ: неполное частное $x^2$, остаток $x^2 - 1$.

3. На $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Используем формулу разности степеней $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
Для $n=5$ имеем $x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.
Отсюда видно, что многочлен $x^5 - 1$ делится на $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ без остатка.
$x^5 - 1 = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1) + 0$.
Ответ: неполное частное $x - 1$, остаток $0$.

626. Найдите НОД (A, B), если:

а) $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$, $B = x^3 - 2x^2 + 1$;

б) $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$, $B = x^3 - 1$;

в) $A = x^5 - x^4 - x^3 + 2x^2 - x$, $B = x^5 - x^4 + x^3 - x$;

г) $A = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x$, $B = x^2 - 4x + 3$.

а) Даны многочлены $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$ и $B = x^3 - 2x^2 + 1$. Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) воспользуемся алгоритмом Евклида. Поскольку старшие степени многочленов равны, на первом шаге вычтем один многочлен из другого: $A - B = (x^3 - 2x^2 + 2x - 1) - (x^3 - 2x^2 + 1) = 2x - 2 = 2(x - 1)$. Согласно алгоритму Евклида, $НОД(A, B) = НОД(B, A - B)$. Таким образом, задача сводится к нахождению $НОД(x^3 - 2x^2 + 1, 2(x - 1))$. Константный множитель 2 не влияет на НОД, поэтому мы можем его опустить и найти $НОД(x^3 - 2x^2 + 1, x - 1)$. Для этого проверим, делится ли многочлен $B$ на $x - 1$. Подставим корень двучлена $x - 1$, то есть $x=1$, в многочлен $B$: $B(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$. Поскольку $B(1) = 0$, многочлен $B$ делится на $x - 1$ без остатка. Так как $x - 1$ (с точностью до постоянного множителя) является остатком от деления $A$ на $B$, и при этом сам $B$ делится на $x - 1$, то $x-1$ и является их наибольшим общим делителем. Ответ: $x - 1$.

б) Даны многочлены $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$ и $B = x^3 - 1$. В этом случае удобно найти НОД, разложив оба многочлена на множители. Для многочлена $A$ можно заметить, что $x=1$ является его корнем, так как $A(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2(1) - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0$. Выполнив деление $A$ на $x-1$, получим: $A = (x-1)(x^2 - x + 1)$. Многочлен $B$ представляет собой разность кубов, которая раскладывается по известной формуле: $B = x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x + 1)$. Сравнивая полученные разложения для $A$ и $B$: $A = (x-1)(x^2 - x + 1)$ $B = (x-1)(x^2 + x + 1)$ Видно, что единственным общим множителем является $x-1$. Следовательно, это и есть их наибольший общий делитель. Ответ: $x - 1$.

в) Даны многочлены $A = x^5 - x^4 - x^3 + 2x^2 - x$ и $B = x^5 - x^4 + x^3 - x$. В обоих многочленах можно вынести за скобки общий множитель $x$: $A = x(x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 1)$ $B = x(x^4 - x^3 + x^2 - 1)$ Следовательно, $НОД(A, B) = x \cdot НОД(x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 1, x^4 - x^3 + x^2 - 1)$. Обозначим $A' = x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 1$ и $B' = x^4 - x^3 + x^2 - 1$ и применим к ним алгоритм Евклида: $B' - A' = (x^4 - x^3 + x^2 - 1) - (x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 1) = 2x^2 - 2x = 2x(x-1)$. Теперь ищем $НОД(A', 2x(x-1))$. Для этого достаточно проверить, делится ли $A'$ на $x$ и на $x-1$. При $x=0$, $A'(0) = -1 \neq 0$, так что $x$ не является делителем $A'$. При $x=1$, $A'(1) = 1 - 1 - 1 + 2 - 1 = 0$, так что $(x-1)$ является делителем $A'$. Таким образом, $НОД(A', 2x(x-1))$ может быть равен $x-1$ (с точностью до константы). Чтобы убедиться в этом, разложим $A'$ и $B'$ на множители: $A' = (x-1)(x^3-x+1)$ $B' = x^3(x-1) + (x^2-1) = x^3(x-1) + (x-1)(x+1) = (x-1)(x^3+x+1)$ Общий делитель для $A'$ и $B'$ это $x-1$, так как многочлены $x^3-x+1$ и $x^3+x+1$ взаимно просты (их разность $2x$, но ни один из них не делится на $x$). Значит, $НОД(A', B') = x-1$. Итоговый НОД для $A$ и $B$ равен $x \cdot (x-1) = x^2 - x$. Ответ: $x^2 - x$.

г) Даны многочлены $A = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x$ и $B = x^2 - 4x + 3$. Проще всего начать с разложения на множители многочлена меньшей степени $B$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Следовательно, $B = (x-1)(x-3)$. Наибольший общий делитель многочленов $A$ и $B$ должен быть делителем $B$. Проверим, делится ли $A$ на множители $(x-1)$ и $(x-3)$. Для этого подставим корни $B$ в многочлен $A$: $A(1) = 1^4 - 5(1)^3 + 7(1)^2 - 3(1) = 1 - 5 + 7 - 3 = 0$. $A(3) = 3^4 - 5(3)^3 + 7(3)^2 - 3(3) = 81 - 5 \cdot 27 + 7 \cdot 9 - 9 = 81 - 135 + 63 - 9 = 144 - 144 = 0$. Поскольку оба корня многочлена $B$ являются и корнями многочлена $A$, то многочлен $A$ делится на $B$ без остатка. Для подтверждения можно выполнить деление в столбик: $(x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x) \div (x^2 - 4x + 3) = x^2 - x$. Остаток от деления равен 0. Это означает, что $A = (x^2 - x) \cdot B$. Так как многочлен $A$ является кратным многочлену $B$, их наибольший общий делитель равен $B$. Ответ: $x^2 - 4x + 3$.

627. Сократите дробь:

а) $ \frac{x^3 - x^2 + x + 3}{x^2 - 2x + 3} $;

б) $ \frac{x^3 + x^2 + 3x - 5}{x^2 + 2x + 5} $;

в) $ \frac{x^3 - 1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1} $;

г) $ \frac{x^3 + 8}{x^3 - 4x^2 + 8x - 8} $.

а) $ \frac{x^3 - x^2 + x + 3}{x^2 - 2x + 3} $

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Рассмотрим знаменатель $ x^2 - 2x + 3 $. Найдем его дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 $. Так как дискриминант меньше нуля ($ D < 0 $), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители.

Если дробь сократима, то числитель $ x^3 - x^2 + x + 3 $ должен делиться на знаменатель $ x^2 - 2x + 3 $. Выполним деление многочленов столбиком:

$ (x^3 - x^2 + x + 3) \div (x^2 - 2x + 3) = x + 1 $.

Это означает, что $ x^3 - x^2 + x + 3 = (x^2 - 2x + 3)(x + 1) $.

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь:
$ \frac{(x^2 - 2x + 3)(x + 1)}{x^2 - 2x + 3} $

Поскольку выражение $ x^2 - 2x + 3 $ никогда не равно нулю для действительных значений $ x $, мы можем сократить дробь на этот множитель.
Ответ: $ x + 1 $.

б) $ \frac{x^3 + x^2 + 3x - 5}{x^2 + 2x + 5} $

Аналогично предыдущему пункту, начнем со знаменателя $ x^2 + 2x + 5 $. Его дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 $. Дискриминант отрицательный, значит, знаменатель не раскладывается на линейные множители.

Проверим, делится ли числитель $ x^3 + x^2 + 3x - 5 $ на знаменатель $ x^2 + 2x + 5 $ с помощью деления столбиком:

$ (x^3 + x^2 + 3x - 5) \div (x^2 + 2x + 5) = x - 1 $.

Следовательно, $ x^3 + x^2 + 3x - 5 = (x^2 + 2x + 5)(x - 1) $.

Подставим это в дробь:
$ \frac{(x^2 + 2x + 5)(x - 1)}{x^2 + 2x + 5} $

Выражение $ x^2 + 2x + 5 $ не равно нулю, поэтому мы можем сократить дробь на него.
Ответ: $ x - 1 $.

в) $ \frac{x^3 - 1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1} $

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $ x^3 - 1 $ является разностью кубов. Используем формулу $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:
$ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $.

Для разложения знаменателя $ x^3 + 2x^2 + 2x + 1 $ можно сгруппировать слагаемые:
$ x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + (2x^2 + 2x) $
Применим формулу суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $ и вынесем общий множитель:
$ (x + 1)(x^2 - x + 1) + 2x(x + 1) = (x + 1)( (x^2 - x + 1) + 2x ) = (x + 1)(x^2 + x + 1) $.

Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x + 1)(x^2 + x + 1)} $

Общий множитель $ x^2 + x + 1 $ можно сократить, так как его дискриминант $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 $, и он не равен нулю.
Ответ: $ \frac{x - 1}{x + 1} $.

г) $ \frac{x^3 + 8}{x^3 - 4x^2 + 8x - 8} $

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $ x^3 + 8 $ является суммой кубов. Используем формулу $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $:
$ x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) $.

Для разложения знаменателя $ x^3 - 4x^2 + 8x - 8 $ сгруппируем слагаемые:
$ x^3 - 4x^2 + 8x - 8 = (x^3 - 8) - (4x^2 - 8x) $
Применим формулу разности кубов и вынесем общий множитель:
$ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - 4x(x - 2) = (x - 2)( (x^2 + 2x + 4) - 4x ) = (x - 2)(x^2 - 2x + 4) $.

Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 - 2x + 4)} $

Общий множитель $ x^2 - 2x + 4 $ можно сократить, так как его дискриминант $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0 $, и он не равен нулю.
Ответ: $ \frac{x + 2}{x - 2} $.

628. Доказываем. Докажите, что дробь несократима:

а) $ \frac{x^4+1}{x^3+1} $;

б) $ \frac{x^3+9}{x^2-1} $.

а)

Чтобы доказать, что дробь $ \frac{x^4+1}{x^3+1} $ несократима, необходимо показать, что числитель $ P(x) = x^4+1 $ и знаменатель $ Q(x) = x^3+1 $ не имеют общих множителей, кроме константы. Это эквивалентно тому, что их наибольший общий делитель (НОД) является константой. Для нахождения НОД многочленов воспользуемся алгоритмом Евклида.

1. Разделим многочлен $ x^4+1 $ на $ x^3+1 $ с остатком. Для этого можно выполнить деление столбиком или преобразовать выражение:

$ x^4+1 = x^4 + x - x + 1 = x(x^3+1) - x + 1 $

Остаток от деления $ r_1(x) = -x+1 $.

2. Теперь разделим предыдущий делитель $ Q(x) = x^3+1 $ на полученный остаток $ r_1(x) = -x+1 $. Деление на $ -x+1 $ эквивалентно (с точностью до знака) делению на $ x-1 $.

По теореме Безу, остаток от деления многочлена $ x^3+1 $ на двучлен $ x-1 $ равен значению этого многочлена при $ x=1 $:

$ 1^3+1 = 2 $.

Таким образом, остаток от деления равен 2. Выполним деление, чтобы убедиться:

$ x^3+1 = (x^3-1)+2 = (x-1)(x^2+x+1) + 2 $

Остаток от деления $ r_2(x) = 2 $.

3. Поскольку последний ненулевой остаток является константой (число 2), это означает, что многочлены $ x^4+1 $ и $ x^3+1 $ являются взаимно простыми. У них нет общих полиномиальных множителей.

Следовательно, данная дробь несократима.

Ответ: Дробь несократима, что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать, что дробь $ \frac{x^3+9}{x^2-1} $ несократима, нужно показать, что числитель $ P(x) = x^3+9 $ и знаменатель $ Q(x) = x^2-1 $ не имеют общих множителей. Дробь можно было бы сократить, если бы у числителя и знаменателя был общий корень.

1. Найдем корни знаменателя $ Q(x) = x^2-1 $.

$ x^2-1 = 0 $

$ (x-1)(x+1) = 0 $

Корнями знаменателя являются $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -1 $.

2. Проверим, являются ли эти числа корнями числителя $ P(x) = x^3+9 $. Если да, то дробь сократима, если нет — несократима.

Подставим $ x=1 $ в числитель:

$ P(1) = 1^3 + 9 = 1+9 = 10 $.

Поскольку $ P(1) \neq 0 $, то $ (x-1) $ не является множителем числителя.

Подставим $ x=-1 $ в числитель:

$ P(-1) = (-1)^3 + 9 = -1+9 = 8 $.

Поскольку $ P(-1) \neq 0 $, то $ (x+1) $ не является множителем числителя.

3. Ни один из корней знаменателя не обращает числитель в ноль. Это означает, что многочлены $ x^3+9 $ и $ x^2-1 $ не имеют общих корней, а значит и общих множителей.

Следовательно, данная дробь несократима.

Ответ: Дробь несократима, что и требовалось доказать.

629. Найдите многочлен A, для которого верно равенство:

а) $x^{12} - 1 = (x^4 - 1) \cdot A;$

б) $x^{12} - 1 = (x^2 + 1) \cdot A;$

в) $x^{12} - 1 = (x^2 - 1) \cdot A;$

г) $x^{12} - 1 = (x + 1) \cdot A;$

д) $x^{12} - 1 = (x - 1) \cdot A;$

е) $x^5 - 32 = (x - 2) \cdot A;$

ж) $x^6 - 64 = (x - 2) \cdot A;$

з) $x^7 - 128 = (x - 2) \cdot A.$

а)

Чтобы найти многочлен $A$, необходимо разделить левую часть равенства на известный множитель: $A = \frac{x^{12} - 1}{x^4 - 1}$.

Представим $x^{12}$ как $(x^4)^3$. Тогда выражение $x^{12} - 1$ можно рассматривать как разность кубов $a^3 - b^3$, где $a = x^4$ и $b = 1$.

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$x^{12} - 1 = (x^4)^3 - 1^3 = (x^4 - 1)((x^4)^2 + x^4 \cdot 1 + 1^2) = (x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)$.

Теперь мы можем найти $A$:

$A = \frac{(x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)}{x^4 - 1} = x^8 + x^4 + 1$.

Ответ: $A = x^8 + x^4 + 1$.

б)

Для нахождения многочлена $A$ разделим $x^{12} - 1$ на $x^2 + 1$: $A = \frac{x^{12} - 1}{x^2 + 1}$.

Сделаем замену $y = x^2$. Тогда выражение преобразуется к виду $\frac{y^6 - 1}{y + 1}$.

Так как $y^6 - 1 = (y+1)(y^5 - y^4 + y^3 - y^2 + y - 1)$, мы можем сократить дробь:

$A = y^5 - y^4 + y^3 - y^2 + y - 1$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$A = (x^2)^5 - (x^2)^4 + (x^2)^3 - (x^2)^2 + x^2 - 1 = x^{10} - x^8 + x^6 - x^4 + x^2 - 1$.

Ответ: $A = x^{10} - x^8 + x^6 - x^4 + x^2 - 1$.

в)

Чтобы найти $A$, разделим $x^{12} - 1$ на $x^2 - 1$: $A = \frac{x^{12} - 1}{x^2 - 1}$.

Сделаем замену $y = x^2$. Выражение примет вид $\frac{y^6 - 1}{y - 1}$.

Используем формулу для частного от деления разности степеней, которая также является формулой суммы членов геометрической прогрессии: $\frac{a^n-1}{a-1} = a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + 1$.

При $a=y$ и $n=6$ получаем:

$A = y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y + 1$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$A = (x^2)^5 + (x^2)^4 + (x^2)^3 + (x^2)^2 + x^2 + 1 = x^{10} + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1$.

Ответ: $A = x^{10} + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1$.

г)

Для нахождения $A$ разделим $x^{12} - 1$ на $x + 1$: $A = \frac{x^{12} - 1}{x + 1}$.

При делении многочлена $x^n - 1$ на $x+1$ (где $n$ - четное), частное представляет собой многочлен с чередующимися знаками.

$A = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$.

Ответ: $A = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$.

д)

Чтобы найти $A$, разделим $x^{12} - 1$ на $x - 1$: $A = \frac{x^{12} - 1}{x - 1}$.

Используем формулу для частного от деления разности степеней:

$A = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

Ответ: $A = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

е)

Перепишем равенство: $x^5 - 2^5 = (x - 2) \cdot A$.

Чтобы найти $A$, разделим $x^5 - 2^5$ на $x - 2$: $A = \frac{x^5 - 2^5}{x - 2}$.

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}$.

В данном случае $a=x$, $b=2$, $n=5$:

$A = x^4 + x^3 \cdot 2^1 + x^2 \cdot 2^2 + x^1 \cdot 2^3 + 2^4 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$.

Ответ: $A = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$.

ж)

Перепишем равенство: $x^6 - 2^6 = (x - 2) \cdot A$.

Чтобы найти $A$, разделим $x^6 - 2^6$ на $x - 2$: $A = \frac{x^6 - 2^6}{x - 2}$.

Используем ту же формулу, где $a=x$, $b=2$, $n=6$:

$A = x^5 + x^4 \cdot 2^1 + x^3 \cdot 2^2 + x^2 \cdot 2^3 + x^1 \cdot 2^4 + 2^5$.

$A = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32$.

Ответ: $A = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32$.

з)

Перепишем равенство: $x^7 - 2^7 = (x - 2) \cdot A$.

Чтобы найти $A$, разделим $x^7 - 2^7$ на $x - 2$: $A = \frac{x^7 - 2^7}{x - 2}$.

Используем формулу разности степеней, где $a=x$, $b=2$, $n=7$:

$A = x^6 + x^5 \cdot 2^1 + x^4 \cdot 2^2 + x^3 \cdot 2^3 + x^2 \cdot 2^4 + x^1 \cdot 2^5 + 2^6$.

$A = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64$.

Ответ: $A = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64$.