Страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

633. a) Что называют корнем уравнения с одним неизвестным?

б) Что значит решить уравнение?

в) Какое уравнение называют уравнением первой степени с одним неизвестным? Приведите примеры.

г) Сколько корней имеет уравнение первой степени с одним неизвестным?

а) Что называют корнем уравнения с одним неизвестным?

Корнем или решением уравнения с одним неизвестным называют такое значение неизвестной переменной, при подстановке которого в исходное уравнение получается верное числовое равенство. Например, для уравнения $2x - 8 = 0$ корнем является число $4$, потому что при подстановке $x=4$ мы получаем $2 \cdot 4 - 8 = 8 - 8 = 0$, что является верным равенством $0=0$.

Ответ: Корнем уравнения с одним неизвестным называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

б) Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это комплексная задача, которая включает в себя нахождение всех его корней или установление факта их отсутствия. Просто найти один корень, если их может быть больше, недостаточно для полного решения. Необходимо найти всё множество решений.

Ответ: Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

в) Какое уравнение называют уравнением первой степени с одним неизвестным? Приведите примеры.

Уравнением первой степени с одним неизвестным (или линейным уравнением) называют уравнение, которое можно представить в виде $ax + b = 0$. В этой формуле $x$ — это неизвестная переменная, а $a$ и $b$ — некоторые известные числа (коэффициенты), при этом обязательным условием является то, что коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Если бы $a$ был равен нулю, слагаемое с $x$ исчезло бы, и уравнение перестало бы быть уравнением первой степени.

Примеры уравнений первой степени с одним неизвестным:
– $5x + 15 = 0$ (здесь $a=5$, $b=15$);
– $2.5y - 10 = 0$ (здесь переменная $y$, $a=2.5$, $b=-10$);
– $7 - z = 0$ (это уравнение можно переписать как $-1 \cdot z + 7 = 0$, где $a=-1$, $b=7$);
– $\frac{1}{3}k = 2$ (это уравнение приводится к виду $\frac{1}{3}k - 2 = 0$, где $a=\frac{1}{3}$, $b=-2$).

Ответ: Уравнением первой степени с одним неизвестным называют уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$. Примеры: $3x - 12 = 0$; $-5x + 1 = 0$; $0.2y + 4 = 8$.

г) Сколько корней имеет уравнение первой степени с одним неизвестным?

Уравнение первой степени с одним неизвестным вида $ax + b = 0$ (где $a \neq 0$) всегда имеет ровно один корень. Это можно доказать, решив уравнение в общем виде:

1. Перенесем свободный член $b$ в правую часть уравнения, изменив его знак: $ax = -b$.

2. Так как по определению уравнения первой степени коэффициент $a$ не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $a$: $x = -\frac{b}{a}$.

Полученное выражение $x = -\frac{b}{a}$ является единственной формулой для нахождения корня, которая дает уникальное значение для $x$ при заданных $a$ и $b$. Таким образом, существует только один корень.

Ответ: Уравнение первой степени с одним неизвестным всегда имеет один корень.

634. В уравнении $-3x + 5 = 0$ назовите: свободный член; коэффициент при неизвестном.

Рассмотрим данное линейное уравнение $-3x + 5 = 0$. Общий вид линейного уравнения с одной переменной: $ax + b = 0$, где $x$ — это неизвестная переменная, $a$ — коэффициент при неизвестной, а $b$ — свободный член.

свободный член
Свободный член в уравнении — это слагаемое, которое не содержит переменную. В общем виде $ax + b = 0$ свободным членом является $b$. В уравнении $-3x + 5 = 0$ этим слагаемым является число $5$.
Ответ: 5

коэффициент при неизвестном
Коэффициент при неизвестном — это числовой множитель, стоящий перед переменной. В общем виде $ax + b = 0$ коэффициентом является $a$. В уравнении $-3x + 5 = 0$ переменная $x$ умножается на число $-3$. Следовательно, это и есть коэффициент при неизвестном.
Ответ: -3

635. а) Каков общий вид уравнения первой степени с неизвестным $x$?

б) Напишите три уравнения первой степени с одним неизвестным.

а) Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным $x$ — это линейное уравнение, которое можно записать в виде:

$ax + b = 0$

Здесь $x$ — это неизвестная переменная. Коэффициенты $a$ и $b$ являются заданными числами (константами). Важным условием для того, чтобы уравнение было именно первой степени, является $a \neq 0$. Если бы $a$ было равно нулю, член с $x$ исчез бы, и уравнение перестало бы быть уравнением первой степени.

Ответ: $ax + b = 0$, где $a$ и $b$ — числа, и $a \neq 0$.

б) Чтобы написать три примера уравнений первой степени с одним неизвестным, мы можем использовать общую формулу $ax + b = 0$ и подставить в нее различные числовые значения для $a$ (не равное нулю) и $b$.

1. Пусть $a = 3$ и $b = -9$. Тогда уравнение будет иметь вид: $3x - 9 = 0$.

2. Пусть $a = -5$ и $b = 20$. Тогда уравнение будет: $-5x + 20 = 0$.

3. Пусть $a = 1$ и $b = 7$. Тогда уравнение запишется как: $x + 7 = 0$.

Ответ: $3x - 9 = 0$; $-5x + 20 = 0$; $x + 7 = 0$.

636. Является ли данное уравнение уравнением первой степени с одним неизвестным:

а) $4x - 2 = 0;$

б) $6x = 0;$

в) $3 + 7x = 0;$

г) $0 \cdot x = 0;$

д) $-21 + 4x = 0;$

е) $\frac{5}{3}x - \frac{8}{7} = 0;$

ж) $(4,7 - 4 - 0,7)x - 1 = 0;$

з) $0 \cdot x - 6 = 0;$

и) $0 = 7x - 2?$

Уравнение первой степени с одним неизвестным — это уравнение, которое можно привести к виду $ax + b = 0$, где $x$ — неизвестная переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты), причем коэффициент $a$ при переменной $x$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Проанализируем каждое уравнение:

а) $4x - 2 = 0$

Это уравнение уже представлено в виде $ax + b = 0$. Здесь $a = 4$ и $b = -2$. Так как $a = 4 \neq 0$, это уравнение является уравнением первой степени с одним неизвестным.

Ответ: да.

б) $6x = 0$

Это уравнение можно записать как $6x + 0 = 0$. Здесь $a = 6$ и $b = 0$. Так как $a = 6 \neq 0$, это уравнение является уравнением первой степени с одним неизвестным.

Ответ: да.

в) $3 + 7x = 0$

Переставив слагаемые, получим $7x + 3 = 0$. Здесь $a = 7$ и $b = 3$. Так как $a = 7 \neq 0$, это уравнение является уравнением первой степени с одним неизвестным.

Ответ: да.

г) $0 \cdot x = 0$

Это уравнение можно записать как $0 \cdot x + 0 = 0$. Здесь $a = 0$ и $b = 0$. Поскольку коэффициент при $x$ равен нулю ($a = 0$), это уравнение не является уравнением первой степени.

Ответ: нет.

д) $-21 + 4x = 0$

Переставив слагаемые, получим $4x - 21 = 0$. Здесь $a = 4$ и $b = -21$. Так как $a = 4 \neq 0$, это уравнение является уравнением первой степени с одним неизвестным.

Ответ: да.

е) $\frac{5}{3}x - \frac{8}{7} = 0$

Это уравнение вида $ax + b = 0$, где $a = \frac{5}{3}$ и $b = -\frac{8}{7}$. Так как $a = \frac{5}{3} \neq 0$, это уравнение является уравнением первой степени с одним неизвестным.

Ответ: да.

ж) $(4,7 - 4 - 0,7)x - 1 = 0$

Сначала упростим коэффициент при $x$: $4,7 - 4 - 0,7 = 0,7 - 0,7 = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x - 1 = 0$. Здесь коэффициент $a = 0$. Следовательно, это не уравнение первой степени.

Ответ: нет.

з) $0 \cdot x - 6 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $a=0$. Уравнение сводится к неверному равенству $-6 = 0$. Так как $a=0$, это не уравнение первой степени.

Ответ: нет.

и) $0 = 7x - 2$

Это уравнение можно переписать в стандартном виде $7x - 2 = 0$. Здесь $a = 7$ и $b = -2$. Так как $a = 7 \neq 0$, это уравнение является уравнением первой степени с одним неизвестным.

Ответ: да.

637. Составьте уравнение первой степени с одним неизвестным x, если:

a) $-3x + 5 = 0$

б) $2x = 0$

в) $-\frac{5}{4}x + 7 = 0$

г) $\frac{1}{2}x - 10 = 0$

д) $30x - 20 = 0$

е) $-8x + \frac{15}{2} = 0$

ж) $\frac{1}{3}x = 0$

з) $4x - 7,5 = 0$

Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным $x$ — это $kx + b = 0$, где $k$ и $b$ — некоторые числа. Для составления уравнения необходимо подставить заданные значения $k$ и $b$ в эту формулу.

а) Дано: $k = -3$, $b = 5$.
Подставляем значения в формулу $kx + b = 0$:
$(-3) \cdot x + 5 = 0$
Получаем уравнение:
$-3x + 5 = 0$
Ответ: $-3x + 5 = 0$.

б) Дано: $k = 2$, $b = 0$.
Подставляем значения в формулу $kx + b = 0$:
$2 \cdot x + 0 = 0$
Получаем уравнение:
$2x = 0$
Ответ: $2x = 0$.

в) Дано: $k = -1\frac{1}{4}$, $b = 7$.
Подставляем значения в формулу $kx + b = 0$:
$-1\frac{1}{4}x + 7 = 0$
Можно также представить коэффициент $k$ в виде неправильной дроби: $k = -1\frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$. Тогда уравнение будет выглядеть как $-\frac{5}{4}x + 7 = 0$. Оба варианта верны.
Ответ: $-1\frac{1}{4}x + 7 = 0$.

г) Дано: $k = \frac{1}{2}$, $b = -10$.
Подставляем значения в формулу $kx + b = 0$:
$\frac{1}{2}x + (-10) = 0$
Получаем уравнение:
$\frac{1}{2}x - 10 = 0$
Ответ: $\frac{1}{2}x - 10 = 0$.

д) Дано: $k = 30$, $b = -20$.
Подставляем значения в формулу $kx + b = 0$:
$30x + (-20) = 0$
Получаем уравнение:
$30x - 20 = 0$
Ответ: $30x - 20 = 0$.

е) Дано: $b = 7\frac{1}{2}$, $k = -8$.
Подставляем значения в формулу $kx + b = 0$:
$-8x + 7\frac{1}{2} = 0$
Можно представить свободный член $b$ в виде десятичной дроби $b=7.5$. Тогда уравнение будет выглядеть как $-8x + 7.5 = 0$. Оба варианта верны.
Ответ: $-8x + 7\frac{1}{2} = 0$.

ж) Дано: $k = 0,(3)$, $b = 0$.
Сначала переведем периодическую десятичную дробь $0,(3)$ в обыкновенную дробь.
Пусть $y = 0,(3) = 0.333...$
Умножим на 10: $10y = 3.333...$
Вычтем из второго равенства первое: $10y - y = 3.333... - 0.333...$
$9y = 3$
$y = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Итак, $k = \frac{1}{3}$.
Подставляем значения $k = \frac{1}{3}$ и $b=0$ в формулу $kx + b = 0$:
$\frac{1}{3}x + 0 = 0$
Получаем уравнение:
$\frac{1}{3}x = 0$
Ответ: $\frac{1}{3}x = 0$.

з) Дано: $b = -7,5$, $k = 4$.
Подставляем значения в формулу $kx + b = 0$:
$4x + (-7,5) = 0$
Получаем уравнение:
$4x - 7,5 = 0$
Ответ: $4x - 7,5 = 0$.

638. Какое из чисел 3; 0; -1 является корнем уравнения $2x + 2 = 0$?

Для того чтобы определить, какое из предложенных чисел (3; 0; -1) является корнем уравнения $2x + 2 = 0$, мы можем использовать один из двух способов: подставить каждое число в уравнение и проверить, выполняется ли равенство, или решить уравнение и сравнить полученный корень с предложенными вариантами.

Способ 1: Проверка каждого числа подстановкой

Корень уравнения – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Проверка числа 3

Подставим значение $x = 3$ в левую часть уравнения:

$2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8$

В результате мы получили 8. Так как $8 \neq 0$, число 3 не является корнем данного уравнения.

Проверка числа 0

Подставим значение $x = 0$ в левую часть уравнения:

$2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2$

В результате мы получили 2. Так как $2 \neq 0$, число 0 не является корнем данного уравнения.

Проверка числа -1

Подставим значение $x = -1$ в левую часть уравнения:

$2 \cdot (-1) + 2 = -2 + 2 = 0$

В результате мы получили 0, что соответствует правой части уравнения. Равенство $0=0$ является верным, следовательно, число -1 является корнем данного уравнения.

Способ 2: Решение уравнения

Решим линейное уравнение $2x + 2 = 0$ относительно $x$.

Сначала перенесем число 2 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$2x = -2$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2:

$x = \frac{-2}{2}$

$x = -1$

Мы нашли, что корень уравнения равен -1. Этот результат совпадает с одним из предложенных чисел.

Оба способа показывают, что корнем уравнения является число -1.

Ответ: -1

639. Является ли число $\frac{1}{2}$ корнем уравнения:

а) $5x - 8 = 0$;

б) $4x - 8 = 0$;

в) $8x - 4 = 0$;

г) $1,3x - 0,65 = 0$;

д) $7\frac{1}{4}x - 3,5 = 0$;

е) $\frac{1}{2}x = 0$?

Чтобы определить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате получится верное равенство, то число является корнем уравнения. В данном случае мы проверяем число $x = \frac{1}{2}$ или $x = 0,5$.

а) $5x - 8 = 0$
Подставляем $x = \frac{1}{2}$:
$5 \cdot \frac{1}{2} - 8 = \frac{5}{2} - 8 = 2,5 - 8 = -5,5$
Так как $-5,5 \neq 0$, число $\frac{1}{2}$ не является корнем этого уравнения.
Ответ: нет.

б) $4x - 8 = 0$
Подставляем $x = \frac{1}{2}$:
$4 \cdot \frac{1}{2} - 8 = \frac{4}{2} - 8 = 2 - 8 = -6$
Так как $-6 \neq 0$, число $\frac{1}{2}$ не является корнем этого уравнения.
Ответ: нет.

в) $8x - 4 = 0$
Подставляем $x = \frac{1}{2}$:
$8 \cdot \frac{1}{2} - 4 = \frac{8}{2} - 4 = 4 - 4 = 0$
Так как $0 = 0$, равенство верное, следовательно, число $\frac{1}{2}$ является корнем этого уравнения.
Ответ: да.

г) $1,3x - 0,65 = 0$
Подставляем $x = 0,5$ (что то же самое, что и $\frac{1}{2}$):
$1,3 \cdot 0,5 - 0,65 = 0,65 - 0,65 = 0$
Так как $0 = 0$, равенство верное, следовательно, число $\frac{1}{2}$ является корнем этого уравнения.
Ответ: да.

д) $7\frac{1}{4}x - 3,5 = 0$
Переведем смешанное число и десятичную дробь в один формат. Например, в десятичные дроби: $7\frac{1}{4} = 7,25$.
Подставляем $x = 0,5$ в уравнение $7,25x - 3,5 = 0$:
$7,25 \cdot 0,5 - 3,5 = 3,625 - 3,5 = 0,125$
Так как $0,125 \neq 0$, число $\frac{1}{2}$ не является корнем этого уравнения.
Ответ: нет.

е) $\frac{1}{2}x = 0$
Подставляем $x = \frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
Так как $\frac{1}{4} \neq 0$, число $\frac{1}{2}$ не является корнем этого уравнения.
Ответ: нет.