Номер 633, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9.1. Уравнения первой степени с одним неизвестным. Параграф 9. Линейные уравнения с одним неизвестным. Глава 3. Линейные уравнения - номер 633, страница 173.

Условие.

633. a) Что называют корнем уравнения с одним неизвестным?

б) Что значит решить уравнение?

в) Какое уравнение называют уравнением первой степени с одним неизвестным? Приведите примеры.

г) Сколько корней имеет уравнение первой степени с одним неизвестным?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Что называют корнем уравнения с одним неизвестным?

Корнем или решением уравнения с одним неизвестным называют такое значение неизвестной переменной, при подстановке которого в исходное уравнение получается верное числовое равенство. Например, для уравнения $2x - 8 = 0$ корнем является число $4$, потому что при подстановке $x=4$ мы получаем $2 \cdot 4 - 8 = 8 - 8 = 0$, что является верным равенством $0=0$.

Ответ: Корнем уравнения с одним неизвестным называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

б) Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это комплексная задача, которая включает в себя нахождение всех его корней или установление факта их отсутствия. Просто найти один корень, если их может быть больше, недостаточно для полного решения. Необходимо найти всё множество решений.

Ответ: Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

в) Какое уравнение называют уравнением первой степени с одним неизвестным? Приведите примеры.

Уравнением первой степени с одним неизвестным (или линейным уравнением) называют уравнение, которое можно представить в виде $ax + b = 0$. В этой формуле $x$ — это неизвестная переменная, а $a$ и $b$ — некоторые известные числа (коэффициенты), при этом обязательным условием является то, что коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Если бы $a$ был равен нулю, слагаемое с $x$ исчезло бы, и уравнение перестало бы быть уравнением первой степени.

Примеры уравнений первой степени с одним неизвестным:
– $5x + 15 = 0$ (здесь $a=5$, $b=15$);
– $2.5y - 10 = 0$ (здесь переменная $y$, $a=2.5$, $b=-10$);
– $7 - z = 0$ (это уравнение можно переписать как $-1 \cdot z + 7 = 0$, где $a=-1$, $b=7$);
– $\frac{1}{3}k = 2$ (это уравнение приводится к виду $\frac{1}{3}k - 2 = 0$, где $a=\frac{1}{3}$, $b=-2$).

Ответ: Уравнением первой степени с одним неизвестным называют уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$. Примеры: $3x - 12 = 0$; $-5x + 1 = 0$; $0.2y + 4 = 8$.

г) Сколько корней имеет уравнение первой степени с одним неизвестным?

Уравнение первой степени с одним неизвестным вида $ax + b = 0$ (где $a \neq 0$) всегда имеет ровно один корень. Это можно доказать, решив уравнение в общем виде:

1. Перенесем свободный член $b$ в правую часть уравнения, изменив его знак: $ax = -b$.

2. Так как по определению уравнения первой степени коэффициент $a$ не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $a$: $x = -\frac{b}{a}$.

Полученное выражение $x = -\frac{b}{a}$ является единственной формулой для нахождения корня, которая дает уникальное значение для $x$ при заданных $a$ и $b$. Таким образом, существует только один корень.

Ответ: Уравнение первой степени с одним неизвестным всегда имеет один корень.