Номер 632, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

2. Исторические сведения. Дополнения к главе 2. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 632, страница 170.

Условие.

632. Ищем информацию.

а) Используя справочную литературу и Интернет, выясните, когда и у каких народов появились первые упоминания об арифметическом треугольнике и как он называется в Иране, в Китае. Какими ещё свойствами обладают числа треугольника Паскаля?

б) Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение об И. Ньютоне и о задачах его «Всеобщей арифметики».

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Арифметический треугольник, который в большинстве стран мира известен как треугольник Паскаля, имеет долгую и богатую историю, уходящую вглубь веков и охватывающую разные цивилизации, задолго до работ французского учёного Блеза Паскаля.

Первые известные упоминания об этой числовой структуре встречаются в Индии. Примерно во II веке до н.э. индийский математик Пингала в своем труде «Чандах-шастра», посвященном санскритской просодии (стихосложению), описал правила для нахождения числа комбинаций слогов, которые по сути являются биномиальными коэффициентами и образуют этот треугольник.

Значительно позже, около 1000 года н.э., треугольник изучался в странах исламского мира. Персидский математик Аль-Караджи описал его в своих работах. Наиболее известным исследователем треугольника в этом регионе является персидский поэт и учёный Омар Хайям (XI век). Он подробно изучил его свойства, включая связь с разложением бинома $(a+b)^n$. Поэтому в Иране и некоторых других странах этот треугольник носит название «треугольник Хайяма».

Почти в то же время треугольник был известен и в Китае. В XI веке математик Цзя Сянь использовал его для извлечения квадратных и кубических корней. В XIII веке другой китайский математик, Ян Хуэй, подробно описал треугольник в своих трудах, приведя его изображение до шестой строки. В связи с его вкладом в Китае этот треугольник называют «треугольником Ян Хуэя».

В Европе треугольник стал широко известен после публикации Блезом Паскалем в 1665 году «Трактата об арифметическом треугольнике», где были систематизированы его свойства и показаны применения в теории вероятностей.

Числа в треугольнике Паскаля обладают множеством удивительных свойств:

• Симметрия. Треугольник симметричен относительно вертикальной оси. Числа в каждой строке читаются одинаково слева направо и справа налево. Это является следствием свойства биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
• Сумма элементов строки. Сумма чисел, стоящих в n-й строке (нумерация строк начинается с 0), равна $2^n$. Например, для 4-й строки (1 4 6 4 1) сумма равна $1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$.
• Степени числа 11. Если рассматривать числа в строке как цифры одного числа, то первые несколько строк представляют собой степени числа 11: $11^0=1$, $11^1=11$, $11^2=121$, $11^3=1331$, $11^4=14641$.
• Числа Фибоначчи. Если суммировать числа вдоль «восходящих» диагоналей, то получатся числа из последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...).
• Биномиальные коэффициенты. Это основное свойство. Числа в n-й строке являются коэффициентами в разложении бинома $(a+b)^n$. Число, стоящее в k-й позиции n-й строки (нумерация с 0), равно биномиальному коэффициенту $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• Свойство «хоккейной клюшки». Сумма всех чисел, идущих подряд вдоль диагонали, начиная с самого края (с единицы), равна числу, стоящему в следующей строке и на соседней диагонали. Например, $1+3+6+10=20$. Формально: $\sum_{i=r}^n C_i^r = C_{n+1}^{r+1}$.
• Фрактальная структура. Если в треугольнике Паскаля раскрасить все нечетные числа в один цвет, а четные — в другой, то получится узор, который при увеличении числа строк стремится к известному фракталу — треугольнику Серпинского.

Ответ: Первые упоминания арифметического треугольника встречаются в Индии (II в. до н.э.), позже он изучался в Персии (Иране) и Китае. В Иране он известен как «треугольник Хайяма», в Китае — «треугольник Ян Хуэя». Среди его свойств — симметричность, сумма чисел в n-й строке равна $2^n$, связь с биномиальными коэффициентами, числами Фибоначчи и фракталами.

б)

Сэр Исаак Ньютон (1643–1727) — великий английский учёный, заложивший основы современного естествознания. Он был физиком, математиком, астрономом и философом. Его вклад в науку огромен и многогранен.

• В физике Ньютон сформулировал три фундаментальных закона механики (законы Ньютона) и открыл закон всемирного тяготения. Эти открытия были изложены в его главном труде «Математические начала натуральной философии» (1687), который стал основой классической механики.
• В области оптики он доказал, что белый свет состоит из спектра цветов, и сконструировал первый зеркальный телескоп (рефлектор).
• В математике Ньютон, независимо от Готфрида Лейбница, разработал дифференциальное и интегральное исчисление — мощнейший инструмент для исследования функций и решения физических задач. Он также обобщил формулу бинома на случай дробных и отрицательных показателей (бином Ньютона).

Труд Исаака Ньютона «Всеобщая арифметика» («Arithmetica Universalis») был опубликован в 1707 году. Он представляет собой сборник лекций по алгебре, которые Ньютон читал в Кембриджском университете. Главная цель книги — научить искусству решения задач путем их перевода на язык алгебры.

В этой книге Ньютон собрал большое количество разнообразных задач и показал, как их можно решить, составив одно или несколько уравнений. По сути, это был учебник по применению алгебры к реальным жизненным ситуациям. Задачи в книге можно разделить на несколько типов:

• Задачи на движение: классические задачи о путниках, которые движутся навстречу друг другу или вдогонку, с разными скоростями и из разных пунктов.
• Задачи на совместную работу: например, "если писец за 8 дней может написать 15 листов, то сколько потребуется писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?".
• Задачи на проценты, смеси и сплавы: вычисление стоимости товаров, процентного содержания веществ в смесях.
• Геометрические задачи: нахождение сторон и площадей фигур по известным соотношениям между их элементами. Например, найти катеты прямоугольного треугольника, зная его периметр и площадь.

Ньютон подчёркивал, что решение любой задачи состоит из двух этапов: сначала нужно «перевести» условие задачи с обычного языка на язык математических уравнений, а затем решить полученные уравнения. «Всеобщая арифметика» демонстрировала универсальность алгебраического метода для решения широкого круга проблем, что и отражено в её названии.

Ответ: Исаак Ньютон — великий английский учёный, автор законов механики и закона всемирного тяготения, один из создателей математического анализа. Его книга «Всеобщая арифметика» является учебником по алгебре, в котором на примере множества задач (на движение, работу, геометрию) показано, как переводить условия реальных проблем на язык математических уравнений и решать их.