Номер 629, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость многочленов. Дополнения к главе 2. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 629, страница 167.

Условие.

629. Найдите многочлен A, для которого верно равенство:

а) $x^{12} - 1 = (x^4 - 1) \cdot A;$

б) $x^{12} - 1 = (x^2 + 1) \cdot A;$

в) $x^{12} - 1 = (x^2 - 1) \cdot A;$

г) $x^{12} - 1 = (x + 1) \cdot A;$

д) $x^{12} - 1 = (x - 1) \cdot A;$

е) $x^5 - 32 = (x - 2) \cdot A;$

ж) $x^6 - 64 = (x - 2) \cdot A;$

з) $x^7 - 128 = (x - 2) \cdot A.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Чтобы найти многочлен $A$, необходимо разделить левую часть равенства на известный множитель: $A = \frac{x^{12} - 1}{x^4 - 1}$.

Представим $x^{12}$ как $(x^4)^3$. Тогда выражение $x^{12} - 1$ можно рассматривать как разность кубов $a^3 - b^3$, где $a = x^4$ и $b = 1$.

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$x^{12} - 1 = (x^4)^3 - 1^3 = (x^4 - 1)((x^4)^2 + x^4 \cdot 1 + 1^2) = (x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)$.

Теперь мы можем найти $A$:

$A = \frac{(x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)}{x^4 - 1} = x^8 + x^4 + 1$.

Ответ: $A = x^8 + x^4 + 1$.

б)

Для нахождения многочлена $A$ разделим $x^{12} - 1$ на $x^2 + 1$: $A = \frac{x^{12} - 1}{x^2 + 1}$.

Сделаем замену $y = x^2$. Тогда выражение преобразуется к виду $\frac{y^6 - 1}{y + 1}$.

Так как $y^6 - 1 = (y+1)(y^5 - y^4 + y^3 - y^2 + y - 1)$, мы можем сократить дробь:

$A = y^5 - y^4 + y^3 - y^2 + y - 1$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$A = (x^2)^5 - (x^2)^4 + (x^2)^3 - (x^2)^2 + x^2 - 1 = x^{10} - x^8 + x^6 - x^4 + x^2 - 1$.

Ответ: $A = x^{10} - x^8 + x^6 - x^4 + x^2 - 1$.

в)

Чтобы найти $A$, разделим $x^{12} - 1$ на $x^2 - 1$: $A = \frac{x^{12} - 1}{x^2 - 1}$.

Сделаем замену $y = x^2$. Выражение примет вид $\frac{y^6 - 1}{y - 1}$.

Используем формулу для частного от деления разности степеней, которая также является формулой суммы членов геометрической прогрессии: $\frac{a^n-1}{a-1} = a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + 1$.

При $a=y$ и $n=6$ получаем:

$A = y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y + 1$.

Выполним обратную замену $y = x^2$:

$A = (x^2)^5 + (x^2)^4 + (x^2)^3 + (x^2)^2 + x^2 + 1 = x^{10} + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1$.

Ответ: $A = x^{10} + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1$.

г)

Для нахождения $A$ разделим $x^{12} - 1$ на $x + 1$: $A = \frac{x^{12} - 1}{x + 1}$.

При делении многочлена $x^n - 1$ на $x+1$ (где $n$ - четное), частное представляет собой многочлен с чередующимися знаками.

$A = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$.

Ответ: $A = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$.

д)

Чтобы найти $A$, разделим $x^{12} - 1$ на $x - 1$: $A = \frac{x^{12} - 1}{x - 1}$.

Используем формулу для частного от деления разности степеней:

$A = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

Ответ: $A = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

е)

Перепишем равенство: $x^5 - 2^5 = (x - 2) \cdot A$.

Чтобы найти $A$, разделим $x^5 - 2^5$ на $x - 2$: $A = \frac{x^5 - 2^5}{x - 2}$.

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}$.

В данном случае $a=x$, $b=2$, $n=5$:

$A = x^4 + x^3 \cdot 2^1 + x^2 \cdot 2^2 + x^1 \cdot 2^3 + 2^4 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$.

Ответ: $A = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$.

ж)

Перепишем равенство: $x^6 - 2^6 = (x - 2) \cdot A$.

Чтобы найти $A$, разделим $x^6 - 2^6$ на $x - 2$: $A = \frac{x^6 - 2^6}{x - 2}$.

Используем ту же формулу, где $a=x$, $b=2$, $n=6$:

$A = x^5 + x^4 \cdot 2^1 + x^3 \cdot 2^2 + x^2 \cdot 2^3 + x^1 \cdot 2^4 + 2^5$.

$A = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32$.

Ответ: $A = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32$.

з)

Перепишем равенство: $x^7 - 2^7 = (x - 2) \cdot A$.

Чтобы найти $A$, разделим $x^7 - 2^7$ на $x - 2$: $A = \frac{x^7 - 2^7}{x - 2}$.

Используем формулу разности степеней, где $a=x$, $b=2$, $n=7$:

$A = x^6 + x^5 \cdot 2^1 + x^4 \cdot 2^2 + x^3 \cdot 2^3 + x^2 \cdot 2^4 + x^1 \cdot 2^5 + 2^6$.

$A = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64$.

Ответ: $A = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64$.