Номер 623, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость многочленов. Дополнения к главе 2. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 623, страница 167.

Условие.

623. Сократите дробь:

а) $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$;

б) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$;

В) $\frac{a^5 - b^5}{a^3 - b^3}$;

Г) $\frac{a^5 + b^5}{a^7 + b^7}$;

Д) $\frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{a^4 - b^4}$;

е) $\frac{a^5 + b^5}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$;

Ж) $\frac{a^3 - 8}{a^4 - 16}$;

З) $\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9}$;

И) $\frac{a^5 - 32}{a^3 - 8}$;

К) $\frac{a^5 + 32}{a^7 + 128}$;

Л) $\frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 16}$;

М) $\frac{a^5 + 1}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель раскладывается по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов дважды: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}$.
Сокращаем общий множитель $(a - b)$.
Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{(a + b)(a^2 + b^2)}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$, разложим числитель на множители по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим разложение в дробь: $\frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2}$.
Сокращаем общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$.
Ответ: $a + b$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 - b^5}{a^3 - b^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$.
Знаменатель: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$.
Сокращаем общий множитель $(a - b)$.
Ответ: $\frac{a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4}{a^2 + ab + b^2}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 + b^5}{a^7 + b^7}$, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы суммы степеней для нечетных показателей.
Числитель: $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
Знаменатель: $a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)}{(a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)}$.
Сокращаем общий множитель $(a + b)$.
Ответ: $\frac{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}{a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{a^4 - b^4}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе сгруппируем слагаемые: $a^2(a + b) + b^2(a + b) = (a + b)(a^2 + b^2)$.
Знаменатель: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a + b)(a^2 + b^2)}{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}$.
Сокращаем общие множители $(a + b)$ и $(a^2 + b^2)$.
Ответ: $\frac{1}{a - b}$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 + b^5}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$, разложим числитель на множители.
Числитель: $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
Знаменатель является одним из множителей числителя.
Подставим разложение в дробь: $\frac{(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$.
Сокращаем общий множитель $(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.
Ответ: $a + b$

ж) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - 8}{a^4 - 16}$, представим 8 как $2^3$ и 16 как $2^4$ и разложим на множители.
Числитель: $a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Знаменатель: $a^4 - 2^4 = (a^2 - 2^2)(a^2 + 2^2) = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)}$.
Сокращаем общий множитель $(a - 2)$.
Ответ: $\frac{a^2 + 2a + 4}{(a + 2)(a^2 + 4)}$

з) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9}$, представим 27 как $3^3$ и разложим числитель по формуле суммы кубов.
Числитель: $a^3 + 3^3 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$.
Знаменатель является одним из множителей числителя.
Подставим разложение в дробь: $\frac{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}{a^2 - 3a + 9}$.
Сокращаем общий множитель $(a^2 - 3a + 9)$.
Ответ: $a + 3$

и) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 - 32}{a^3 - 8}$, представим 32 как $2^5$ и 8 как $2^3$ и разложим на множители.
Числитель: $a^5 - 2^5 = (a - 2)(a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16)$.
Знаменатель: $a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a - 2)(a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$.
Сокращаем общий множитель $(a - 2)$.
Ответ: $\frac{a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16}{a^2 + 2a + 4}$

к) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 + 32}{a^7 + 128}$, представим 32 как $2^5$ и 128 как $2^7$ и разложим на множители.
Числитель: $a^5 + 2^5 = (a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)$.
Знаменатель: $a^7 + 2^7 = (a + 2)(a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)}{(a + 2)(a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64)}$.
Сокращаем общий множитель $(a + 2)$.
Ответ: $\frac{a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16}{a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64}$

л) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 16}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе сгруппируем слагаемые: $a^2(a + 2) + 4(a + 2) = (a + 2)(a^2 + 4)$.
Знаменатель: $a^4 - 16 = (a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a + 2)(a^2 + 4)}{(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)}$.
Сокращаем общие множители $(a + 2)$ и $(a^2 + 4)$.
Ответ: $\frac{1}{a - 2}$

м) Чтобы сократить дробь $\frac{a^5 + 1}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$, разложим числитель на множители.
Числитель: $a^5 + 1 = a^5 + 1^5 = (a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$.
Знаменатель является одним из множителей числителя.
Подставим разложение в дробь: $\frac{(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$.
Сокращаем общий множитель $(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$.
Ответ: $a + 1$