Номер 617, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 617, страница 160.

Условие.

617. Упростите выражение:

а) $\frac{a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}{a^{-2} - b^{-2}};$

б) $\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}};$

в) $\left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^5 \cdot \left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^{-5};$

г) $\left(\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}}\right)^7 : \left(\frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}}\right)^{-7};$

д) $\frac{\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}};$

е) $\frac{\frac{1}{a^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^3} - \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{ab^2} - \frac{1}{b^3}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Исходное выражение: $ \frac{a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}{a^{-2} - b^{-2}} $.
Заметим, что числитель представляет собой полный квадрат суммы, а знаменатель — разность квадратов. Используем формулы сокращенного умножения: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ и $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда числитель равен $(a^{-1} + b^{-1})^2$, а знаменатель равен $(a^{-1})^2 - (b^{-1})^2 = (a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})$.
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{(a^{-1} + b^{-1})^2}{(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})} $
Сократим дробь на $(a^{-1} + b^{-1})$ при условии, что $a^{-1} + b^{-1} \neq 0$:
$ \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}} $
Теперь заменим степени с отрицательным показателем на дроби ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):
$ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $
Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $ab$:
$ \frac{\frac{b+a}{ab}}{\frac{b-a}{ab}} $
Упростим полученную многоэтажную дробь:
$ \frac{b+a}{ab} \cdot \frac{ab}{b-a} = \frac{b+a}{b-a} $
Ответ: $ \frac{a+b}{b-a} $.

б) Исходное выражение: $ \frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}} $.
Числитель является суммой кубов, а знаменатель — неполным квадратом разности. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда числитель равен $(a^{-1})^3 + (b^{-1})^3 = (a^{-1} + b^{-1})((a^{-1})^2 - a^{-1}b^{-1} + (b^{-1})^2) = (a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$.
Подставим это выражение в дробь:
$ \frac{(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}} $
Сократим дробь на общий множитель $(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$:
$ a^{-1} + b^{-1} $
Заменим степени с отрицательным показателем на дроби:
$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{b+a}{ab} $
Ответ: $ \frac{a+b}{ab} $.

в) Исходное выражение: $ \left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^5 \cdot \left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^{-5} $.
Используем свойство степеней $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$. В данном случае основание степени $x = \frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}$, а показатели $n=5$ и $m=-5$.
$ \left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^{5 + (-5)} = \left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^0 $
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
Ответ: $ 1 $.

г) Исходное выражение: $ \left(\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}}\right)^7 : \left(\frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}}\right)^{-7} $.
Используем свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$.
Преобразуем второй множитель (делитель):
$ \left(\frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}}\right)^{-7} = \left(\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}}\right)^7 $
Теперь выражение выглядит так:
$ \left(\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}}\right)^7 : \left(\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}}\right)^7 $
Мы делим выражение само на себя. Если это выражение не равно нулю, результат деления равен 1.
Ответ: $ 1 $.

д) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}} $.
Числитель представляет собой квадрат суммы $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2$.
Знаменатель представляет собой разность квадратов $(\frac{1}{a})^2 - (\frac{1}{b})^2 = (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$.
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2}{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})} $
Сократим дробь на $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$:
$ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $
Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $ab$:
$ \frac{\frac{b+a}{ab}}{\frac{b-a}{ab}} $
Упростим многоэтажную дробь:
$ \frac{b+a}{ab} \cdot \frac{ab}{b-a} = \frac{b+a}{b-a} $
Ответ: $ \frac{a+b}{b-a} $.

е) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{a^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^3} - \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{ab^2} - \frac{1}{b^3}} $.
Заметим, что числитель является полным квадратом разности, а знаменатель — полным кубом разности.
Числитель: $\frac{1}{a^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2} = (\frac{1}{a})^2 - 2(\frac{1}{a})(\frac{1}{b}) + (\frac{1}{b})^2 = (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2$.
Знаменатель: $\frac{1}{a^3} - \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{ab^2} - \frac{1}{b^3} = (\frac{1}{a})^3 - 3(\frac{1}{a})^2(\frac{1}{b}) + 3(\frac{1}{a})(\frac{1}{b})^2 - (\frac{1}{b})^3 = (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^3$.
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2}{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^3} $
Сократим дробь на $(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2$:
$ \frac{1}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $
Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $ab$:
$ \frac{1}{\frac{b-a}{ab}} $
Упростим многоэтажную дробь, "перевернув" знаменатель:
$ \frac{ab}{b-a} $
Ответ: $ \frac{ab}{b-a} $.