Номер 612, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 612, страница 160.

Условие.

612. Запишите без отрицательных показателей степеней:

а) $a^{-1} + b^{-1}$;

б) $(a + b)^{-2}$;

в) $(a^{-2} - b^{-2})^{-1}$;

г) $(a + a^{-1})^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Исходное выражение: $a^{-1} + b^{-1}$.
По определению степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, мы можем переписать каждый член выражения:
$a^{-1} = \frac{1}{a}$
$b^{-1} = \frac{1}{b}$
Следовательно, выражение становится $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $ab$.
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$.
Таким образом, мы избавились от отрицательных показателей степеней.
Ответ: $\frac{a+b}{ab}$.

б) Исходное выражение: $(a + b)^{-2}$.
Применим правило для отрицательных степеней $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ ко всему выражению в скобках, где $x = (a+b)$ и $n=2$.
$(a+b)^{-2} = \frac{1}{(a+b)^2}$.
Выражение записано без отрицательных показателей.
Ответ: $\frac{1}{(a+b)^2}$.

в) Исходное выражение: $(a^{-2} - b^{-2})^{-1}$.
Сначала преобразуем члены внутри скобок, используя правило $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:
$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
$b^{-2} = \frac{1}{b^2}$
Выражение в скобках принимает вид: $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$.
Приведем эти дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $(\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2})^{-1}$.
Возведение дроби в степень $-1$ эквивалентно нахождению обратной дроби (переворачиванию числителя и знаменателя):
$(\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2})^{-1} = \frac{a^2b^2}{b^2 - a^2}$.
Ответ: $\frac{a^2b^2}{b^2 - a^2}$.

г) Исходное выражение: $(a + a^{-1})^{-1}$.
Сначала упростим выражение внутри скобок. Перепишем $a^{-1}$ как $\frac{1}{a}$:
$a + a^{-1} = a + \frac{1}{a}$.
Приведем к общему знаменателю $a$:
$a + \frac{1}{a} = \frac{a \cdot a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a^2 + 1}{a}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $(\frac{a^2 + 1}{a})^{-1}$.
Применим правило возведения в степень $-1$, то есть "перевернем" дробь:
$(\frac{a^2 + 1}{a})^{-1} = \frac{a}{a^2 + 1}$.
Ответ: $\frac{a}{a^2+1}$.