Номер 614, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 614, страница 160.

Условие.

614. Доказываем. Докажите, что верно равенство:

а) $(a^{-1} + b^{-1})^2 = a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2};$

б) $(a^{-1} - b^{-1})^2 = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2};$

в) $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = a^{-2} - b^{-2};$

г) $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} - b^{-3};$

д) $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} + b^{-3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть. Мы используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае заменим $x$ на $a^{-1}$ и $y$ на $b^{-1}$.
$(a^{-1} + b^{-1})^2 = (a^{-1})^2 + 2 \cdot a^{-1} \cdot b^{-1} + (b^{-1})^2$
Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{mn}$.
$(a^{-1})^2 = a^{-1 \cdot 2} = a^{-2}$
$(b^{-1})^2 = b^{-1 \cdot 2} = b^{-2}$
Подставляя полученные выражения, мы видим, что левая часть тождественно равна правой:
$a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$.
Равенство доказано.
Ответ: $(a^{-1} + b^{-1})^2 = a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$.

б) Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$.
$(a^{-1} - b^{-1})^2 = (a^{-1})^2 - 2 \cdot a^{-1} \cdot b^{-1} + (b^{-1})^2$
Применяя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:
$(a^{-1})^2 = a^{-2}$ и $(b^{-1})^2 = b^{-2}$.
Подставив эти значения, получаем выражение, идентичное правой части исходного равенства:
$a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$.
Равенство доказано.
Ответ: $(a^{-1} - b^{-1})^2 = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$.

в) Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$.
$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = (a^{-1})^2 - (b^{-1})^2$
Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:
$(a^{-1})^2 = a^{-2}$ и $(b^{-1})^2 = b^{-2}$.
Подставив эти значения, получаем выражение, идентичное правой части исходного равенства:
$a^{-2} - b^{-2}$.
Равенство доказано.
Ответ: $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = a^{-2} - b^{-2}$.

г) Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для разности кубов: $(x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$. В данном случае $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$.
Проверим, что второй множитель в левой части соответствует формуле. Для $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$ имеем: $x^2 = (a^{-1})^2 = a^{-2}$, $y^2 = (b^{-1})^2 = b^{-2}$, и $xy = a^{-1}b^{-1}$. Таким образом, выражение $(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$ является неполным квадратом суммы $a^{-1}$ и $b^{-1}$.
Применяем формулу разности кубов:
$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = (a^{-1})^3 - (b^{-1})^3$
Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:
$(a^{-1})^3 = a^{-3}$ и $(b^{-1})^3 = b^{-3}$.
В результате получаем $a^{-3} - b^{-3}$, что полностью совпадает с правой частью равенства. Равенство доказано.
Ответ: $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} - b^{-3}$.

д) Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$. В данном случае $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$.
Проверим, что второй множитель в левой части соответствует формуле. Для $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$ имеем: $x^2 = (a^{-1})^2 = a^{-2}$, $y^2 = (b^{-1})^2 = b^{-2}$, и $xy = a^{-1}b^{-1}$. Таким образом, выражение $(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$ является неполным квадратом разности $a^{-1}$ и $b^{-1}$.
Применяем формулу суммы кубов:
$(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = (a^{-1})^3 + (b^{-1})^3$
Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:
$(a^{-1})^3 = a^{-3}$ и $(b^{-1})^3 = b^{-3}$.
В результате получаем $a^{-3} + b^{-3}$, что полностью совпадает с правой частью равенства. Равенство доказано.
Ответ: $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} + b^{-3}$.