Номер 609, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.3. Стандартный вид числа. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 609, страница 157.

Условие.

609. Верно ли, что:

а) порядок произведения двух чисел равен произведению их порядков;

б) порядок частного двух чисел равен частному их порядков?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для ответа на эти вопросы определим, что такое «порядок числа». Порядком числа называется показатель степени 10 в стандартной записи этого числа. Любое число, отличное от нуля, можно представить в стандартном виде как $a \cdot 10^n$, где $1 \le |a| < 10$, а $n$ – целое число. Число $n$ и есть порядок числа.

а) порядок произведения двух чисел равен произведению их порядков;

Это утверждение неверно. Порядок произведения двух чисел приблизительно равен сумме их порядков, а не произведению.

Рассмотрим два числа $x_1$ и $x_2$, записанных в стандартном виде:

$x_1 = a_1 \cdot 10^{n_1}$ (порядок этого числа равен $n_1$)

$x_2 = a_2 \cdot 10^{n_2}$ (порядок этого числа равен $n_2$)

Их произведение равно:

$x_1 \cdot x_2 = (a_1 \cdot 10^{n_1}) \cdot (a_2 \cdot 10^{n_2}) = (a_1 \cdot a_2) \cdot 10^{n_1 + n_2}$

Чтобы найти порядок произведения, нужно, чтобы множитель перед степенью десятки (мантисса) был в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Произведение мантисс $a_1 \cdot a_2$ будет находиться в диапазоне $1 \le |a_1 \cdot a_2| < 100$.

Если $1 \le |a_1 \cdot a_2| < 10$, то порядок произведения равен $n_1 + n_2$.

Если $10 \le |a_1 \cdot a_2| < 100$, то произведение нужно привести к стандартному виду, и порядок будет равен $n_1 + n_2 + 1$.

В обоих случаях порядок произведения связан с суммой порядков, а не с их произведением $n_1 \cdot n_2$.

Приведем контрпример. Пусть $x_1 = 2 \cdot 10^3$ и $x_2 = 4 \cdot 10^5$.

Порядок числа $x_1$ равен 3. Порядок числа $x_2$ равен 5. Произведение их порядков равно $3 \cdot 5 = 15$.

Найдем произведение чисел: $x_1 \cdot x_2 = (2 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^5) = 8 \cdot 10^{3+5} = 8 \cdot 10^8$.

Порядок произведения $8 \cdot 10^8$ равен 8.

Сравниваем: порядок произведения (8) не равен произведению порядков (15).

Ответ: нет, неверно.

б) порядок частного двух чисел равен частному их порядков?

Это утверждение также неверно. Порядок частного двух чисел приблизительно равен разности их порядков, а не частному.

Рассмотрим те же два числа $x_1$ и $x_2$ в стандартном виде. Их частное равно:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{a_1 \cdot 10^{n_1}}{a_2 \cdot 10^{n_2}} = \frac{a_1}{a_2} \cdot 10^{n_1 - n_2}$

Чтобы найти порядок частного, нужно, чтобы мантисса $\frac{a_1}{a_2}$ была в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Частное мантисс $\frac{a_1}{a_2}$ будет находиться в диапазоне $0.1 < |\frac{a_1}{a_2}| < 10$.

Если $1 \le |\frac{a_1}{a_2}| < 10$, то порядок частного равен $n_1 - n_2$.

Если $0.1 < |\frac{a_1}{a_2}| < 1$, то частное нужно привести к стандартному виду, и порядок будет равен $n_1 - n_2 - 1$.

В обоих случаях порядок частного связан с разностью порядков, а не с их частным $\frac{n_1}{n_2}$.

Приведем контрпример. Пусть $x_1 = 6 \cdot 10^8$ и $x_2 = 2 \cdot 10^4$.

Порядок числа $x_1$ равен 8. Порядок числа $x_2$ равен 4. Частное их порядков равно $\frac{8}{4} = 2$.

Найдем частное чисел: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{6 \cdot 10^8}{2 \cdot 10^4} = 3 \cdot 10^{8-4} = 3 \cdot 10^4$.

Порядок частного $3 \cdot 10^4$ равен 4.

Сравниваем: порядок частного (4) не равен частному порядков (2).

Ответ: нет, неверно.