Номер 616, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 616, страница 160.

Условие.

616. При каких значениях a и b равно 0 выражение:

a) $ \frac{(a+3)^2}{(a-3)^{-2}} - \frac{(a-3)^2}{(a+3)^{-2}} $;

б) $ \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^7 - \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-7} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Чтобы найти, при каких значениях $a$ выражение равно 0, приравняем его к нулю:
$\frac{(a + 3)^2}{(a - 3)^{-2}} - \frac{(a - 3)^2}{(a + 3)^{-2}} = 0$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
$(a - 3)^{-2} \ne 0 \implies a - 3 \ne 0 \implies a \ne 3$.
$(a + 3)^{-2} \ne 0 \implies a + 3 \ne 0 \implies a \ne -3$.
Таким образом, ОДЗ: $a \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Теперь упростим выражение, используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:
$(a - 3)^{-2} = \frac{1}{(a-3)^2}$
$(a + 3)^{-2} = \frac{1}{(a+3)^2}$

Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{(a + 3)^2}{1/(a - 3)^2} - \frac{(a - 3)^2}{1/(a + 3)^2} = 0$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$(a + 3)^2 \cdot (a - 3)^2 - (a - 3)^2 \cdot (a + 3)^2 = 0$

Мы видим, что уменьшаемое и вычитаемое одинаковы. Пусть $X = (a + 3)^2 \cdot (a - 3)^2$. Тогда уравнение принимает вид:
$X - X = 0$
$0 = 0$

Это верное тождество. Оно означает, что исходное равенство выполняется для всех значений $a$, входящих в область допустимых значений.

Ответ: выражение равно 0 при любых значениях $a$, кроме $a=3$ и $a=-3$.

б)

Приравняем выражение к нулю:
$\left(\frac{a + b}{a - b}\right)^7 - \left(\frac{a - b}{a + b}\right)^{-7} = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$a - b \ne 0 \implies a \ne b$.
$a + b \ne 0 \implies a \ne -b$.
Также основание степени с отрицательным показателем не должно быть равно нулю:
$\frac{a-b}{a+b} \ne 0 \implies a - b \ne 0$, что совпадает с первым условием.

Теперь упростим выражение, используя свойство степени $\left(\frac{x}{y}\right)^{-n} = \left(\frac{y}{x}\right)^n$:
$\left(\frac{a - b}{a + b}\right)^{-7} = \left(\frac{a + b}{a - b}\right)^7$

Подставим это в наше уравнение:
$\left(\frac{a + b}{a - b}\right)^7 - \left(\frac{a + b}{a - b}\right)^7 = 0$

Как и в предыдущем пункте, мы получили разность двух одинаковых выражений:
$0 = 0$

Это верное тождество, которое справедливо для всех значений $a$ и $b$ из области допустимых значений.

Ответ: выражение равно 0 при любых значениях $a$ и $b$, для которых $a \ne b$ и $a \ne -b$.