Номер 613, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 613, страница 160.

Условие.

613. Вычислите:

a) $5^{-1} + 10^{-1}$;

б) $(0,5 + 1)^{-2}$;

в) $(2^{-4} + 4^{-2})^{-1}$;

г) $(2 - 2^{-1})^{-1}$;

д) $3^{-1} + 9^{-1}$;

е) $(0,2 + 1)^{-1}$;

ж) $(4^{-2} - 4^{-3})^{-1}$;

з) $(3 - 3^{-1})^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. $5^{-1} + 10^{-1} = \frac{1}{5^1} + \frac{1}{10^1} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$. Приводим дроби к общему знаменателю 10: $\frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2+1}{10} = \frac{3}{10} = 0,3$. Ответ: 0,3.

б) Сначала выполняем действие в скобках: $0,5 + 1 = 1,5$. Затем возводим результат в степень -2. Представим 1,5 в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$. $(1,5)^{-2} = (\frac{3}{2})^{-2}$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(\frac{3}{2})^{-2} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$. Ответ: $\frac{4}{9}$.

в) Преобразуем слагаемые в скобках, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$; $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$. Выполняем сложение в скобках: $\frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$. Теперь возводим результат в степень -1: $(\frac{1}{8})^{-1} = \frac{8}{1} = 8$. Ответ: 8.

г) Сначала выполняем действие в скобках: $2 - 2^{-1} = 2 - \frac{1}{2}$. $2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Теперь возводим результат в степень -1: $(\frac{3}{2})^{-1} = \frac{2}{3}$. Ответ: $\frac{2}{3}$.

д) Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $3^{-1} + 9^{-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$. Приводим дроби к общему знаменателю 9: $\frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3+1}{9} = \frac{4}{9}$. Ответ: $\frac{4}{9}$.

е) Сначала выполняем действие в скобках: $0,2 + 1 = 1,2$. Представим 1,2 в виде обыкновенной дроби: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$. Возводим результат в степень -1: $(\frac{6}{5})^{-1} = \frac{5}{6}$. Ответ: $\frac{5}{6}$.

ж) Преобразуем числа в скобках: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$; $4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$. Выполняем вычитание в скобках, приводя к общему знаменателю 64: $\frac{1}{16} - \frac{1}{64} = \frac{4}{64} - \frac{1}{64} = \frac{3}{64}$. Возводим результат в степень -1: $(\frac{3}{64})^{-1} = \frac{64}{3}$. Ответ: $\frac{64}{3}$.

з) Выполняем действие в скобках: $3 - 3^{-1} = 3 - \frac{1}{3}$. $3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$. Возводим результат в степень -2, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(\frac{8}{3})^{-2} = (\frac{3}{8})^2 = \frac{3^2}{8^2} = \frac{9}{64}$. Ответ: $\frac{9}{64}$.