Страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

612. Запишите без отрицательных показателей степеней:

а) $a^{-1} + b^{-1}$;

б) $(a + b)^{-2}$;

в) $(a^{-2} - b^{-2})^{-1}$;

г) $(a + a^{-1})^{-1}$.

а) Исходное выражение: $a^{-1} + b^{-1}$.
По определению степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, мы можем переписать каждый член выражения:
$a^{-1} = \frac{1}{a}$
$b^{-1} = \frac{1}{b}$
Следовательно, выражение становится $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $ab$.
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$.
Таким образом, мы избавились от отрицательных показателей степеней.
Ответ: $\frac{a+b}{ab}$.

б) Исходное выражение: $(a + b)^{-2}$.
Применим правило для отрицательных степеней $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ ко всему выражению в скобках, где $x = (a+b)$ и $n=2$.
$(a+b)^{-2} = \frac{1}{(a+b)^2}$.
Выражение записано без отрицательных показателей.
Ответ: $\frac{1}{(a+b)^2}$.

в) Исходное выражение: $(a^{-2} - b^{-2})^{-1}$.
Сначала преобразуем члены внутри скобок, используя правило $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:
$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
$b^{-2} = \frac{1}{b^2}$
Выражение в скобках принимает вид: $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$.
Приведем эти дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $(\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2})^{-1}$.
Возведение дроби в степень $-1$ эквивалентно нахождению обратной дроби (переворачиванию числителя и знаменателя):
$(\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2})^{-1} = \frac{a^2b^2}{b^2 - a^2}$.
Ответ: $\frac{a^2b^2}{b^2 - a^2}$.

г) Исходное выражение: $(a + a^{-1})^{-1}$.
Сначала упростим выражение внутри скобок. Перепишем $a^{-1}$ как $\frac{1}{a}$:
$a + a^{-1} = a + \frac{1}{a}$.
Приведем к общему знаменателю $a$:
$a + \frac{1}{a} = \frac{a \cdot a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a^2 + 1}{a}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $(\frac{a^2 + 1}{a})^{-1}$.
Применим правило возведения в степень $-1$, то есть "перевернем" дробь:
$(\frac{a^2 + 1}{a})^{-1} = \frac{a}{a^2 + 1}$.
Ответ: $\frac{a}{a^2+1}$.

613. Вычислите:

a) $5^{-1} + 10^{-1}$;

б) $(0,5 + 1)^{-2}$;

в) $(2^{-4} + 4^{-2})^{-1}$;

г) $(2 - 2^{-1})^{-1}$;

д) $3^{-1} + 9^{-1}$;

е) $(0,2 + 1)^{-1}$;

ж) $(4^{-2} - 4^{-3})^{-1}$;

з) $(3 - 3^{-1})^{-2}$.

а) Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. $5^{-1} + 10^{-1} = \frac{1}{5^1} + \frac{1}{10^1} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$. Приводим дроби к общему знаменателю 10: $\frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2+1}{10} = \frac{3}{10} = 0,3$. Ответ: 0,3.

б) Сначала выполняем действие в скобках: $0,5 + 1 = 1,5$. Затем возводим результат в степень -2. Представим 1,5 в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$. $(1,5)^{-2} = (\frac{3}{2})^{-2}$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(\frac{3}{2})^{-2} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$. Ответ: $\frac{4}{9}$.

в) Преобразуем слагаемые в скобках, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$; $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$. Выполняем сложение в скобках: $\frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$. Теперь возводим результат в степень -1: $(\frac{1}{8})^{-1} = \frac{8}{1} = 8$. Ответ: 8.

г) Сначала выполняем действие в скобках: $2 - 2^{-1} = 2 - \frac{1}{2}$. $2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Теперь возводим результат в степень -1: $(\frac{3}{2})^{-1} = \frac{2}{3}$. Ответ: $\frac{2}{3}$.

д) Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $3^{-1} + 9^{-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$. Приводим дроби к общему знаменателю 9: $\frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3+1}{9} = \frac{4}{9}$. Ответ: $\frac{4}{9}$.

е) Сначала выполняем действие в скобках: $0,2 + 1 = 1,2$. Представим 1,2 в виде обыкновенной дроби: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$. Возводим результат в степень -1: $(\frac{6}{5})^{-1} = \frac{5}{6}$. Ответ: $\frac{5}{6}$.

ж) Преобразуем числа в скобках: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$; $4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$. Выполняем вычитание в скобках, приводя к общему знаменателю 64: $\frac{1}{16} - \frac{1}{64} = \frac{4}{64} - \frac{1}{64} = \frac{3}{64}$. Возводим результат в степень -1: $(\frac{3}{64})^{-1} = \frac{64}{3}$. Ответ: $\frac{64}{3}$.

з) Выполняем действие в скобках: $3 - 3^{-1} = 3 - \frac{1}{3}$. $3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$. Возводим результат в степень -2, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(\frac{8}{3})^{-2} = (\frac{3}{8})^2 = \frac{3^2}{8^2} = \frac{9}{64}$. Ответ: $\frac{9}{64}$.

614. Доказываем. Докажите, что верно равенство:

а) $(a^{-1} + b^{-1})^2 = a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2};$

б) $(a^{-1} - b^{-1})^2 = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2};$

в) $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = a^{-2} - b^{-2};$

г) $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} - b^{-3};$

д) $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} + b^{-3}.$

а) Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть. Мы используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае заменим $x$ на $a^{-1}$ и $y$ на $b^{-1}$.
$(a^{-1} + b^{-1})^2 = (a^{-1})^2 + 2 \cdot a^{-1} \cdot b^{-1} + (b^{-1})^2$
Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{mn}$.
$(a^{-1})^2 = a^{-1 \cdot 2} = a^{-2}$
$(b^{-1})^2 = b^{-1 \cdot 2} = b^{-2}$
Подставляя полученные выражения, мы видим, что левая часть тождественно равна правой:
$a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$.
Равенство доказано.
Ответ: $(a^{-1} + b^{-1})^2 = a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$.

б) Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$.
$(a^{-1} - b^{-1})^2 = (a^{-1})^2 - 2 \cdot a^{-1} \cdot b^{-1} + (b^{-1})^2$
Применяя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:
$(a^{-1})^2 = a^{-2}$ и $(b^{-1})^2 = b^{-2}$.
Подставив эти значения, получаем выражение, идентичное правой части исходного равенства:
$a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$.
Равенство доказано.
Ответ: $(a^{-1} - b^{-1})^2 = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$.

в) Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$.
$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = (a^{-1})^2 - (b^{-1})^2$
Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:
$(a^{-1})^2 = a^{-2}$ и $(b^{-1})^2 = b^{-2}$.
Подставив эти значения, получаем выражение, идентичное правой части исходного равенства:
$a^{-2} - b^{-2}$.
Равенство доказано.
Ответ: $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = a^{-2} - b^{-2}$.

г) Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для разности кубов: $(x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$. В данном случае $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$.
Проверим, что второй множитель в левой части соответствует формуле. Для $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$ имеем: $x^2 = (a^{-1})^2 = a^{-2}$, $y^2 = (b^{-1})^2 = b^{-2}$, и $xy = a^{-1}b^{-1}$. Таким образом, выражение $(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$ является неполным квадратом суммы $a^{-1}$ и $b^{-1}$.
Применяем формулу разности кубов:
$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = (a^{-1})^3 - (b^{-1})^3$
Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:
$(a^{-1})^3 = a^{-3}$ и $(b^{-1})^3 = b^{-3}$.
В результате получаем $a^{-3} - b^{-3}$, что полностью совпадает с правой частью равенства. Равенство доказано.
Ответ: $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} - b^{-3}$.

д) Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$. В данном случае $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$.
Проверим, что второй множитель в левой части соответствует формуле. Для $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$ имеем: $x^2 = (a^{-1})^2 = a^{-2}$, $y^2 = (b^{-1})^2 = b^{-2}$, и $xy = a^{-1}b^{-1}$. Таким образом, выражение $(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$ является неполным квадратом разности $a^{-1}$ и $b^{-1}$.
Применяем формулу суммы кубов:
$(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = (a^{-1})^3 + (b^{-1})^3$
Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:
$(a^{-1})^3 = a^{-3}$ и $(b^{-1})^3 = b^{-3}$.
В результате получаем $a^{-3} + b^{-3}$, что полностью совпадает с правой частью равенства. Равенство доказано.
Ответ: $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} + b^{-3}$.

615. Упростите выражение:

а) $\frac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} + b^{-1}}$;

б) $\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-1} + b^{-1}}$;

в) $\frac{a^{-3} - b^{-3}}{a^{-1} - b^{-1}}$;

г) $\frac{a^{-4} - b^{-4}}{a^{-2} + b^{-2}}$.

а) Упростим выражение $\frac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} + b^{-1}}$.

Сделаем замену переменных: пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда $x^2 = (a^{-1})^2 = a^{-2}$ и $y^2 = (b^{-1})^2 = b^{-2}$.

Подставив новые переменные, выражение примет вид:

$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ для числителя:

$\frac{(x - y)(x + y)}{x + y}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$x - y$

Выполним обратную замену:

$a^{-1} - b^{-1}$

Запишем результат в виде обыкновенной дроби, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$

Ответ: $\frac{b-a}{ab}$.

б) Упростим выражение $\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-1} + b^{-1}}$.

Сделаем замену переменных: пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда $x^3 = (a^{-1})^3 = a^{-3}$ и $y^3 = (b^{-1})^3 = b^{-3}$.

Подставив новые переменные, выражение примет вид:

$\frac{x^3 + y^3}{x + y}$

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ для числителя:

$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x + y}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$x^2 - xy + y^2$

Выполним обратную замену:

$(a^{-1})^2 - (a^{-1})(b^{-1}) + (b^{-1})^2 = a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$

Запишем результат в виде обыкновенной дроби:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{ab} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{ab}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{a^2 - ab + b^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2b^2}$.

в) Упростим выражение $\frac{a^{-3} - b^{-3}}{a^{-1} - b^{-1}}$.

Сделаем замену переменных: пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда $x^3 = a^{-3}$ и $y^3 = b^{-3}$.

Подставив новые переменные, выражение примет вид:

$\frac{x^3 - y^3}{x - y}$

Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ для числителя:

$\frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x - y}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x-y)$ (при условии, что $x-y \neq 0$):

$x^2 + xy + y^2$

Выполним обратную замену:

$(a^{-1})^2 + (a^{-1})(b^{-1}) + (b^{-1})^2 = a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$

Запишем результат в виде обыкновенной дроби:

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{ab}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2}$.

г) Упростим выражение $\frac{a^{-4} - b^{-4}}{a^{-2} + b^{-2}}$.

Сделаем замену переменных: пусть $x = a^{-2}$ и $y = b^{-2}$. Тогда $x^2 = (a^{-2})^2 = a^{-4}$ и $y^2 = (b^{-2})^2 = b^{-4}$.

Подставив новые переменные, выражение примет вид:

$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ для числителя:

$\frac{(x - y)(x + y)}{x + y}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$x - y$

Выполним обратную замену:

$a^{-2} - b^{-2}$

Запишем результат в виде обыкновенной дроби:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$.

616. При каких значениях a и b равно 0 выражение:

a) $ \frac{(a+3)^2}{(a-3)^{-2}} - \frac{(a-3)^2}{(a+3)^{-2}} $;

б) $ \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^7 - \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-7} $?

а)

Чтобы найти, при каких значениях $a$ выражение равно 0, приравняем его к нулю:
$\frac{(a + 3)^2}{(a - 3)^{-2}} - \frac{(a - 3)^2}{(a + 3)^{-2}} = 0$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
$(a - 3)^{-2} \ne 0 \implies a - 3 \ne 0 \implies a \ne 3$.
$(a + 3)^{-2} \ne 0 \implies a + 3 \ne 0 \implies a \ne -3$.
Таким образом, ОДЗ: $a \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Теперь упростим выражение, используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:
$(a - 3)^{-2} = \frac{1}{(a-3)^2}$
$(a + 3)^{-2} = \frac{1}{(a+3)^2}$

Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{(a + 3)^2}{1/(a - 3)^2} - \frac{(a - 3)^2}{1/(a + 3)^2} = 0$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$(a + 3)^2 \cdot (a - 3)^2 - (a - 3)^2 \cdot (a + 3)^2 = 0$

Мы видим, что уменьшаемое и вычитаемое одинаковы. Пусть $X = (a + 3)^2 \cdot (a - 3)^2$. Тогда уравнение принимает вид:
$X - X = 0$
$0 = 0$

Это верное тождество. Оно означает, что исходное равенство выполняется для всех значений $a$, входящих в область допустимых значений.

Ответ: выражение равно 0 при любых значениях $a$, кроме $a=3$ и $a=-3$.

б)

Приравняем выражение к нулю:
$\left(\frac{a + b}{a - b}\right)^7 - \left(\frac{a - b}{a + b}\right)^{-7} = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$a - b \ne 0 \implies a \ne b$.
$a + b \ne 0 \implies a \ne -b$.
Также основание степени с отрицательным показателем не должно быть равно нулю:
$\frac{a-b}{a+b} \ne 0 \implies a - b \ne 0$, что совпадает с первым условием.

Теперь упростим выражение, используя свойство степени $\left(\frac{x}{y}\right)^{-n} = \left(\frac{y}{x}\right)^n$:
$\left(\frac{a - b}{a + b}\right)^{-7} = \left(\frac{a + b}{a - b}\right)^7$

Подставим это в наше уравнение:
$\left(\frac{a + b}{a - b}\right)^7 - \left(\frac{a + b}{a - b}\right)^7 = 0$

Как и в предыдущем пункте, мы получили разность двух одинаковых выражений:
$0 = 0$

Это верное тождество, которое справедливо для всех значений $a$ и $b$ из области допустимых значений.

Ответ: выражение равно 0 при любых значениях $a$ и $b$, для которых $a \ne b$ и $a \ne -b$.

617. Упростите выражение:

а) $\frac{a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}{a^{-2} - b^{-2}};$

б) $\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}};$

в) $\left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^5 \cdot \left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^{-5};$

г) $\left(\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}}\right)^7 : \left(\frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}}\right)^{-7};$

д) $\frac{\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}};$

е) $\frac{\frac{1}{a^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^3} - \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{ab^2} - \frac{1}{b^3}}.$

а) Исходное выражение: $ \frac{a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}{a^{-2} - b^{-2}} $.
Заметим, что числитель представляет собой полный квадрат суммы, а знаменатель — разность квадратов. Используем формулы сокращенного умножения: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ и $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда числитель равен $(a^{-1} + b^{-1})^2$, а знаменатель равен $(a^{-1})^2 - (b^{-1})^2 = (a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})$.
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{(a^{-1} + b^{-1})^2}{(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})} $
Сократим дробь на $(a^{-1} + b^{-1})$ при условии, что $a^{-1} + b^{-1} \neq 0$:
$ \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}} $
Теперь заменим степени с отрицательным показателем на дроби ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):
$ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $
Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $ab$:
$ \frac{\frac{b+a}{ab}}{\frac{b-a}{ab}} $
Упростим полученную многоэтажную дробь:
$ \frac{b+a}{ab} \cdot \frac{ab}{b-a} = \frac{b+a}{b-a} $
Ответ: $ \frac{a+b}{b-a} $.

б) Исходное выражение: $ \frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}} $.
Числитель является суммой кубов, а знаменатель — неполным квадратом разности. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда числитель равен $(a^{-1})^3 + (b^{-1})^3 = (a^{-1} + b^{-1})((a^{-1})^2 - a^{-1}b^{-1} + (b^{-1})^2) = (a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$.
Подставим это выражение в дробь:
$ \frac{(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}} $
Сократим дробь на общий множитель $(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$:
$ a^{-1} + b^{-1} $
Заменим степени с отрицательным показателем на дроби:
$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{b+a}{ab} $
Ответ: $ \frac{a+b}{ab} $.

в) Исходное выражение: $ \left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^5 \cdot \left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^{-5} $.
Используем свойство степеней $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$. В данном случае основание степени $x = \frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}$, а показатели $n=5$ и $m=-5$.
$ \left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^{5 + (-5)} = \left(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3}\right)^0 $
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
Ответ: $ 1 $.

г) Исходное выражение: $ \left(\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}}\right)^7 : \left(\frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}}\right)^{-7} $.
Используем свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$.
Преобразуем второй множитель (делитель):
$ \left(\frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}}\right)^{-7} = \left(\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}}\right)^7 $
Теперь выражение выглядит так:
$ \left(\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}}\right)^7 : \left(\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}}\right)^7 $
Мы делим выражение само на себя. Если это выражение не равно нулю, результат деления равен 1.
Ответ: $ 1 $.

д) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}} $.
Числитель представляет собой квадрат суммы $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2$.
Знаменатель представляет собой разность квадратов $(\frac{1}{a})^2 - (\frac{1}{b})^2 = (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$.
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2}{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})} $
Сократим дробь на $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$:
$ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $
Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $ab$:
$ \frac{\frac{b+a}{ab}}{\frac{b-a}{ab}} $
Упростим многоэтажную дробь:
$ \frac{b+a}{ab} \cdot \frac{ab}{b-a} = \frac{b+a}{b-a} $
Ответ: $ \frac{a+b}{b-a} $.

е) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{a^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^3} - \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{ab^2} - \frac{1}{b^3}} $.
Заметим, что числитель является полным квадратом разности, а знаменатель — полным кубом разности.
Числитель: $\frac{1}{a^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2} = (\frac{1}{a})^2 - 2(\frac{1}{a})(\frac{1}{b}) + (\frac{1}{b})^2 = (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2$.
Знаменатель: $\frac{1}{a^3} - \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{ab^2} - \frac{1}{b^3} = (\frac{1}{a})^3 - 3(\frac{1}{a})^2(\frac{1}{b}) + 3(\frac{1}{a})(\frac{1}{b})^2 - (\frac{1}{b})^3 = (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^3$.
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2}{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^3} $
Сократим дробь на $(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2$:
$ \frac{1}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $
Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $ab$:
$ \frac{1}{\frac{b-a}{ab}} $
Упростим многоэтажную дробь, "перевернув" знаменатель:
$ \frac{ab}{b-a} $
Ответ: $ \frac{ab}{b-a} $.