Страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

607. Вычислите:

а) $(1,2 \cdot 10^5) \cdot (5 \cdot 10^{-3});$

б) $(4 \cdot 10^{12}) \cdot (1,5 \cdot 10^{-7});$

в) $(3,6 \cdot 10^2) : (9 \cdot 10^{-3});$

г) $(5 \cdot 10^{-4}) : (2,5 \cdot 10^9);$

д) $1250 : 0,625;$

е) $0,00016 \cdot 625000;$

ж) $\frac{2 \cdot 10^5 \cdot 7,2 \cdot 10^{-3}}{1,8 \cdot 10^7};$

з) $\frac{1,25 \cdot 10^{-12} \cdot 4 \cdot 10^3}{10^{-13}}.$

а) $(1,2 \cdot 10^5) \cdot (5 \cdot 10^{-3})$
Чтобы вычислить произведение, сгруппируем числовые множители и степени с основанием 10:
$(1,2 \cdot 5) \cdot (10^5 \cdot 10^{-3})$
Выполним умножение для каждой группы:
$1,2 \cdot 5 = 6$
$10^5 \cdot 10^{-3} = 10^{5+(-3)} = 10^2$
Результат: $6 \cdot 10^2 = 6 \cdot 100 = 600$.
Ответ: 600

б) $(4 \cdot 10^{12}) \cdot (1,5 \cdot 10^{-7})$
Сгруппируем множители:
$(4 \cdot 1,5) \cdot (10^{12} \cdot 10^{-7})$
Выполним умножение для каждой группы:
$4 \cdot 1,5 = 6$
$10^{12} \cdot 10^{-7} = 10^{12+(-7)} = 10^5$
Результат: $6 \cdot 10^5 = 600 000$.
Ответ: 600 000

в) $(3,6 \cdot 10^2) : (9 \cdot 10^{-3})$
Представим деление в виде дроби и сгруппируем делимое и делитель:
$\frac{3,6 \cdot 10^2}{9 \cdot 10^{-3}} = \frac{3,6}{9} \cdot \frac{10^2}{10^{-3}}$
Выполним деление для каждой группы:
$\frac{3,6}{9} = 0,4$
$\frac{10^2}{10^{-3}} = 10^{2-(-3)} = 10^{2+3} = 10^5$
Результат: $0,4 \cdot 10^5 = 4 \cdot 10^{-1} \cdot 10^5 = 4 \cdot 10^4 = 40 000$.
Ответ: 40 000

г) $(5 \cdot 10^{-4}) : (2,5 \cdot 10^9)$
Выполним деление, сгруппировав числовые коэффициенты и степени:
$\frac{5}{2,5} \cdot \frac{10^{-4}}{10^9}$
Выполним деление для каждой группы:
$\frac{5}{2,5} = 2$
$\frac{10^{-4}}{10^9} = 10^{-4-9} = 10^{-13}$
Результат: $2 \cdot 10^{-13}$.
Ответ: $2 \cdot 10^{-13}$

д) $1250 : 0,625$
Представим делитель $0,625$ в виде обыкновенной дроби: $0,625 = \frac{625}{1000} = \frac{5}{8}$.
Тогда деление можно заменить умножением на обратную дробь:
$1250 : \frac{5}{8} = 1250 \cdot \frac{8}{5} = \frac{1250 \cdot 8}{5} = 250 \cdot 8 = 2000$.
Ответ: 2000

е) $0,00016 \cdot 625 000$
Представим оба числа в стандартном виде:
$0,00016 = 1,6 \cdot 10^{-4}$
$625 000 = 6,25 \cdot 10^5$
Перемножим их:
$(1,6 \cdot 10^{-4}) \cdot (6,25 \cdot 10^5) = (1,6 \cdot 6,25) \cdot (10^{-4} \cdot 10^5) = 10 \cdot 10^{1} = 100$.
Ответ: 100

ж) $\frac{2 \cdot 10^5 \cdot 7,2 \cdot 10^{-3}}{1,8 \cdot 10^7}$
Сгруппируем числовые коэффициенты и степени:
$\frac{2 \cdot 7,2}{1,8} \cdot \frac{10^5 \cdot 10^{-3}}{10^7}$
Вычислим числовую часть: $2 \cdot \frac{7,2}{1,8} = 2 \cdot 4 = 8$.
Вычислим часть со степенями: $\frac{10^{5-3}}{10^7} = \frac{10^2}{10^7} = 10^{2-7} = 10^{-5}$.
Объединим результаты: $8 \cdot 10^{-5}$.
Ответ: $8 \cdot 10^{-5}$

з) $\frac{1,25 \cdot 10^{-12} \cdot 4 \cdot 10^3}{10^{-13}}$
Выполним умножение в числителе:
$(1,25 \cdot 4) \cdot (10^{-12} \cdot 10^3) = 5 \cdot 10^{-12+3} = 5 \cdot 10^{-9}$.
Теперь разделим полученный результат на знаменатель:
$\frac{5 \cdot 10^{-9}}{10^{-13}} = 5 \cdot 10^{-9 - (-13)} = 5 \cdot 10^{-9+13} = 5 \cdot 10^4 = 50 000$.
Ответ: 50 000

608. Дано: $a = 0,000002546$, $b = 648400000$. Вычислите, округлив числа с точностью до третьей значащей цифры:

а) $a \cdot b$;

б) $a : b$;

в) $b : a$.

Для решения задачи представим исходные числа в стандартном виде. Стандартный вид числа — это запись вида $m \cdot 10^n$, где $1 \le m < 10$ и $n$ — целое число.

Число $a = 0,000002546$. Перемещаем запятую вправо на 6 позиций, чтобы получить число $2,546$. Значит, $a = 2,546 \cdot 10^{-6}$.

Число $b = 648 400 000$. Перемещаем запятую влево на 8 позиций, чтобы получить число $6,484$. Значит, $b = 6,484 \cdot 10^{8}$.

Далее выполним вычисления для каждого пункта и округлим полученный результат до третьей значащей цифры.

а) a ⋅ b

Выполним умножение чисел в стандартном виде:

$a \cdot b = (2,546 \cdot 10^{-6}) \cdot (6,484 \cdot 10^{8})$

Сгруппируем мантиссы (числа перед степенью) и степени десяти:

$a \cdot b = (2,546 \cdot 6,484) \cdot (10^{-6} \cdot 10^{8})$

Вычислим произведение мантисс и произведение степеней:

$2,546 \cdot 6,484 = 16,508264$

$10^{-6} \cdot 10^{8} = 10^{-6+8} = 10^{2}$

Получаем:

$a \cdot b = 16,508264 \cdot 10^{2} = 1650,8264$

Теперь необходимо округлить результат $1650,8264$ до третьей значащей цифры. Значащие цифры — это все цифры числа, начиная с первой ненулевой слева. В нашем случае это $1, 6, 5, 0, 8, 2, 6, 4$.

Первые три значащие цифры: $1, 6, 5$. Четвертая значащая цифра — $0$. Так как $0 < 5$, то третью значащую цифру ($5$) оставляем без изменений, а все последующие цифры до запятой заменяем нулями, а после запятой — отбрасываем.

Округленное число: $1650$.

Ответ: $1650$.

б) a : b

Выполним деление чисел в стандартном виде:

$a : b = \frac{2,546 \cdot 10^{-6}}{6,484 \cdot 10^{8}}$

Разделим мантиссы и степени десяти отдельно:

$a : b = \frac{2,546}{6,484} \cdot \frac{10^{-6}}{10^{8}}$

Вычислим частное мантисс и частное степеней:

$\frac{2,546}{6,484} \approx 0,39265885$

$\frac{10^{-6}}{10^{8}} = 10^{-6-8} = 10^{-14}$

Получаем:

$a : b \approx 0,39265885 \cdot 10^{-14}$

Чтобы округлить, приведем результат к стандартному виду: $0,39265885 \cdot 10^{-14} = 3,9265885 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-14} = 3,9265885 \cdot 10^{-15}$.

Округлим число $3,9265885 \cdot 10^{-15}$ до третьей значащей цифры. Первые три значащие цифры мантиссы: $3, 9, 2$. Четвертая значащая цифра — $6$. Так как $6 \ge 5$, то третью значащую цифру ($2$) увеличиваем на единицу: $2+1=3$.

Округленный результат: $3,93 \cdot 10^{-15}$.

Ответ: $3,93 \cdot 10^{-15}$.

в) b : a

Выполним деление чисел в стандартном виде:

$b : a = \frac{6,484 \cdot 10^{8}}{2,546 \cdot 10^{-6}}$

Разделим мантиссы и степени десяти отдельно:

$b : a = \frac{6,484}{2,546} \cdot \frac{10^{8}}{10^{-6}}$

Вычислим частное мантисс и частное степеней:

$\frac{6,484}{2,546} \approx 2,54673998$

$\frac{10^{8}}{10^{-6}} = 10^{8-(-6)} = 10^{8+6} = 10^{14}$

Получаем:

$b : a \approx 2,54673998 \cdot 10^{14}$

Это число уже в стандартном виде. Округлим его до третьей значащей цифры. Первые три значащие цифры мантиссы: $2, 5, 4$. Четвертая значащая цифра — $6$. Так как $6 \ge 5$, то третью значащую цифру ($4$) увеличиваем на единицу: $4+1=5$.

Округленный результат: $2,55 \cdot 10^{14}$.

Ответ: $2,55 \cdot 10^{14}$.

609. Верно ли, что:

а) порядок произведения двух чисел равен произведению их порядков;

б) порядок частного двух чисел равен частному их порядков?

Для ответа на эти вопросы определим, что такое «порядок числа». Порядком числа называется показатель степени 10 в стандартной записи этого числа. Любое число, отличное от нуля, можно представить в стандартном виде как $a \cdot 10^n$, где $1 \le |a| < 10$, а $n$ – целое число. Число $n$ и есть порядок числа.

а) порядок произведения двух чисел равен произведению их порядков;

Это утверждение неверно. Порядок произведения двух чисел приблизительно равен сумме их порядков, а не произведению.

Рассмотрим два числа $x_1$ и $x_2$, записанных в стандартном виде:

$x_1 = a_1 \cdot 10^{n_1}$ (порядок этого числа равен $n_1$)

$x_2 = a_2 \cdot 10^{n_2}$ (порядок этого числа равен $n_2$)

Их произведение равно:

$x_1 \cdot x_2 = (a_1 \cdot 10^{n_1}) \cdot (a_2 \cdot 10^{n_2}) = (a_1 \cdot a_2) \cdot 10^{n_1 + n_2}$

Чтобы найти порядок произведения, нужно, чтобы множитель перед степенью десятки (мантисса) был в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Произведение мантисс $a_1 \cdot a_2$ будет находиться в диапазоне $1 \le |a_1 \cdot a_2| < 100$.

Если $1 \le |a_1 \cdot a_2| < 10$, то порядок произведения равен $n_1 + n_2$.

Если $10 \le |a_1 \cdot a_2| < 100$, то произведение нужно привести к стандартному виду, и порядок будет равен $n_1 + n_2 + 1$.

В обоих случаях порядок произведения связан с суммой порядков, а не с их произведением $n_1 \cdot n_2$.

Приведем контрпример. Пусть $x_1 = 2 \cdot 10^3$ и $x_2 = 4 \cdot 10^5$.

Порядок числа $x_1$ равен 3. Порядок числа $x_2$ равен 5. Произведение их порядков равно $3 \cdot 5 = 15$.

Найдем произведение чисел: $x_1 \cdot x_2 = (2 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^5) = 8 \cdot 10^{3+5} = 8 \cdot 10^8$.

Порядок произведения $8 \cdot 10^8$ равен 8.

Сравниваем: порядок произведения (8) не равен произведению порядков (15).

Ответ: нет, неверно.

б) порядок частного двух чисел равен частному их порядков?

Это утверждение также неверно. Порядок частного двух чисел приблизительно равен разности их порядков, а не частному.

Рассмотрим те же два числа $x_1$ и $x_2$ в стандартном виде. Их частное равно:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{a_1 \cdot 10^{n_1}}{a_2 \cdot 10^{n_2}} = \frac{a_1}{a_2} \cdot 10^{n_1 - n_2}$

Чтобы найти порядок частного, нужно, чтобы мантисса $\frac{a_1}{a_2}$ была в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Частное мантисс $\frac{a_1}{a_2}$ будет находиться в диапазоне $0.1 < |\frac{a_1}{a_2}| < 10$.

Если $1 \le |\frac{a_1}{a_2}| < 10$, то порядок частного равен $n_1 - n_2$.

Если $0.1 < |\frac{a_1}{a_2}| < 1$, то частное нужно привести к стандартному виду, и порядок будет равен $n_1 - n_2 - 1$.

В обоих случаях порядок частного связан с разностью порядков, а не с их частным $\frac{n_1}{n_2}$.

Приведем контрпример. Пусть $x_1 = 6 \cdot 10^8$ и $x_2 = 2 \cdot 10^4$.

Порядок числа $x_1$ равен 8. Порядок числа $x_2$ равен 4. Частное их порядков равно $\frac{8}{4} = 2$.

Найдем частное чисел: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{6 \cdot 10^8}{2 \cdot 10^4} = 3 \cdot 10^{8-4} = 3 \cdot 10^4$.

Порядок частного $3 \cdot 10^4$ равен 4.

Сравниваем: порядок частного (4) не равен частному порядков (2).

Ответ: нет, неверно.

610. a) Скорость движения Земли вокруг Солнца равна $3 \cdot 10^4$ м/с. За какое время Земля пройдёт вокруг Солнца путь $1,8 \cdot 10^{12}$ м?

б) Скорость звука в воздухе (при $0 \text{ °C}$) равна 332 м/с. Через сколько минут звук достигнет объекта, находящегося на расстоянии 18,592 км от источника звука?

а)

Для нахождения времени движения воспользуемся формулой, связывающей путь, скорость и время: $s = v \cdot t$, где $s$ – пройденный путь, $v$ – скорость, а $t$ – время. Из этой формулы выразим искомое время $t$:

$t = \frac{s}{v}$

По условию задачи нам известны следующие величины:

Скорость движения Земли $v = 3 \cdot 10^4$ м/с.

Пройденный путь $s = 1.8 \cdot 10^{12}$ м.

Подставим эти значения в формулу для времени и произведем расчет:

$t = \frac{1.8 \cdot 10^{12} \text{ м}}{3 \cdot 10^4 \text{ м/с}} = \frac{1.8}{3} \cdot \frac{10^{12}}{10^4} \text{ с} = 0.6 \cdot 10^{(12-4)} \text{ с} = 0.6 \cdot 10^8 \text{ с}$

Представим ответ в стандартном виде, переместив запятую:

$t = 0.6 \cdot 10^8 \text{ с} = 6 \cdot 10^7 \text{ с}$

Ответ: $6 \cdot 10^7$ с.

б)

Для решения этой задачи также воспользуемся формулой для нахождения времени по известному расстоянию и скорости: $t = \frac{s}{v}$.

Из условия задачи нам даны:

Скорость звука в воздухе $v = 332$ м/с.

Расстояние до объекта $s = 18.592$ км.

Перед началом вычислений необходимо привести все величины к единой системе измерений (СИ). Скорость дана в метрах в секунду, поэтому переведем расстояние из километров в метры, учитывая, что в 1 км содержится 1000 м:

$s = 18.592 \text{ км} = 18.592 \cdot 1000 \text{ м} = 18592 \text{ м}$

Теперь можем рассчитать время в секундах:

$t = \frac{18592 \text{ м}}{332 \text{ м/с}} = 56 \text{ с}$

По условию, ответ необходимо дать в минутах. Для этого разделим полученное значение в секундах на 60 (так как 1 минута = 60 секунд):

$t_{\text{мин}} = \frac{56}{60} \text{ мин}$

Сократим полученную дробь:

$t_{\text{мин}} = \frac{56 \div 4}{60 \div 4} \text{ мин} = \frac{14}{15} \text{ мин}$

Ответ: $\frac{14}{15}$ мин.

611. Ищем информацию.

а) Используя учебник, справочную литературу и Интернет, найдите примеры применения стандартного вида числа в физике, астрономии и других науках.

б) Используя учебник, справочную литературу и Интернет, найдите объяснение происхождения термина «нанотехнологии».

а)

Стандартный вид числа (также известный как научная нотация) — это способ представления очень больших или очень маленьких чисел в компактной форме. Число записывается в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, называемое порядком числа. Эта форма записи широко используется в науке и технике для удобства расчетов и сравнения величин.

Вот несколько примеров применения стандартного вида числа в различных науках:

• Физика:

  • Скорость света в вакууме ($c$) составляет приблизительно 300 000 000 м/с. В стандартном виде это записывается как $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

  • Масса электрона ($m_e$) очень мала и равна примерно 0,000000000000000000000000000000911 кг. В стандартном виде: $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг.

  • Постоянная Планка ($h$) — фундаментальная физическая константа, равная $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с.

  • Элементарный электрический заряд ($e$) — заряд протона или модуль заряда электрона: $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл.

• Астрономия:

  • Масса Земли составляет примерно 5 972 000 000 000 000 000 000 000 кг. В стандартном виде это $5,972 \cdot 10^{24}$ кг.

  • Среднее расстояние от Земли до Солнца (одна астрономическая единица, а.е.) равно 149 600 000 км, что в стандартном виде составляет $1,496 \cdot 10^8$ км.

  • Световой год — расстояние, которое свет проходит за один год, — равен примерно $9,46 \cdot 10^{15}$ м.

  • Масса Солнца составляет примерно $1,989 \cdot 10^{30}$ кг.

• Химия и биология:

  • Число Авогадро ($N_A$) — количество атомов или молекул в одном моле вещества — равно $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23}$ моль^-1.

  • Размер вируса гриппа составляет около 100 нанометров, что можно записать как $1 \cdot 10^{-7}$ м.

  • Количество клеток в теле человека оценивается примерно в $3,72 \cdot 10^{13}$ клеток.

Ответ: Стандартный вид числа используется для записи физических констант (скорость света $3 \cdot 10^8$ м/с, масса электрона $9,11 \cdot 10^{-31}$ кг), астрономических величин (масса Земли $5,972 \cdot 10^{24}$ кг), а также в химии (число Авогадро $6,022 \cdot 10^{23}$ моль^-1) и биологии для представления очень больших и очень малых значений в удобной для восприятия и расчетов форме.

б)

Термин «нанотехнологии» является составным и происходит от двух частей: приставки «нано-» и слова «технология».

Часть «нано-» (от греческого слова νᾶνος, что означает «гном», «карлик») является стандартной приставкой в Международной системе единиц (СИ). Она обозначает одну миллиардную долю ($10^{-9}$) какой-либо величины. Например, один нанометр (нм) — это одна миллиардная часть метра ($10^{-9}$ м). Это чрезвычайно малый масштаб: толщина человеческого волоса составляет примерно 80 000–100 000 нанометров.

Слово «технология» происходит от греческих слов τέχνη (техне) — «искусство, мастерство, ремесло» и λόγος (логос) — «слово, учение, наука». Таким образом, технология — это наука о мастерстве, совокупность методов и инструментов для достижения желаемого результата.

Соединив эти две части, мы получаем буквальное значение термина «нанотехнологии» — это технологии, работающие на уровне нанометровых масштабов. То есть это область фундаментальной и прикладной науки, которая занимается созданием и использованием материалов, устройств и систем, структура которых контролируется на уровне отдельных атомов и молекул (обычно в диапазоне от 1 до 100 нм).

Считается, что впервые термин «нанотехнология» (в оригинале — nano-technology) употребил японский учёный Норио Танигути в 1974 году. Он использовал его для описания процессов производства с точностью в несколько нанометров. Однако идейным вдохновителем этой области часто называют американского физика Ричарда Фейнмана, который в 1959 году в своей лекции «Внизу полным-полно места» (There's Plenty of Room at the Bottom) впервые высказал идею о возможности манипулирования отдельными атомами.

Ответ: Термин «нанотехнологии» происходит от греческого слова νᾶνος («карлик»), которое в науке стало приставкой, означающей одну миллиардную долю ($10^{-9}$), и слова «технология». Таким образом, нанотехнологии — это технологии, оперирующие на уровне нанометров, то есть работающие с отдельными атомами и молекулами.