Страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

600. Представьте $a^{50}$ $(a \neq 0)$ в виде степени с основанием:

а) $a^{-2}$;

б) $a^{-5}$;

в) $a^{10}$;

г) $a^{-10}$;

д) $a^{-25}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство возведения степени в степень: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$. Нам нужно для каждого случая найти такой показатель степени $x$, чтобы исходное выражение $a^{50}$ было равно степени с новым основанием, возведенной в степень $x$.

а) Требуется представить $a^{50}$ в виде степени с основанием $a^{-2}$.Найдем такой показатель степени $x$, что $(a^{-2})^x = a^{50}$.

Используя свойство степеней, получаем равенство: $a^{-2 \cdot x} = a^{50}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $-2x = 50$.

Решим полученное уравнение: $x = \frac{50}{-2} = -25$.

Следовательно, $a^{50} = (a^{-2})^{-25}$.

Ответ: $(a^{-2})^{-25}$.

б) Требуется представить $a^{50}$ в виде степени с основанием $a^{-5}$.Найдем такой показатель степени $x$, что $(a^{-5})^x = a^{50}$.

Используя свойство степеней, получаем: $a^{-5 \cdot x} = a^{50}$.

Приравниваем показатели: $-5x = 50$.

Решаем уравнение: $x = \frac{50}{-5} = -10$.

Следовательно, $a^{50} = (a^{-5})^{-10}$.

Ответ: $(a^{-5})^{-10}$.

в) Требуется представить $a^{50}$ в виде степени с основанием $a^{10}$.Найдем такой показатель степени $x$, что $(a^{10})^x = a^{50}$.

Используя свойство степеней, получаем: $a^{10 \cdot x} = a^{50}$.

Приравниваем показатели: $10x = 50$.

Решаем уравнение: $x = \frac{50}{10} = 5$.

Следовательно, $a^{50} = (a^{10})^5$.

Ответ: $(a^{10})^5$.

г) Требуется представить $a^{50}$ в виде степени с основанием $a^{-10}$.Найдем такой показатель степени $x$, что $(a^{-10})^x = a^{50}$.

Используя свойство степеней, получаем: $a^{-10 \cdot x} = a^{50}$.

Приравниваем показатели: $-10x = 50$.

Решаем уравнение: $x = \frac{50}{-10} = -5$.

Следовательно, $a^{50} = (a^{-10})^{-5}$.

Ответ: $(a^{-10})^{-5}$.

д) Требуется представить $a^{50}$ в виде степени с основанием $a^{25}$.Найдем такой показатель степени $x$, что $(a^{25})^x = a^{50}$.

Используя свойство степеней, получаем: $a^{25 \cdot x} = a^{50}$.

Приравниваем показатели: $25x = 50$.

Решаем уравнение: $x = \frac{50}{25} = 2$.

Следовательно, $a^{50} = (a^{25})^2$.

Ответ: $(a^{25})^2$.

601. Вместо звёздочки запишите такое число, чтобы равенство было верным:

а) $3^5 \cdot * = 3^8;$

б) $4^3 \cdot * = 4^6;$

в) $2^4 : * = 2^2;$

г) $(5^3)^* = 5^6;$

д) $(4^3)^* = 4^{15};$

е) $2^* \cdot 3^* = 6^3;$

ж) $4^5 : * = 4^2;$

з) $3^5 : * = 3^7;$

и) $(2 \cdot 3)^* = 6^5.$

а) В данном равенстве $3^5 \cdot * = 3^8$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Обозначим искомое число как $3^x$. Тогда уравнение примет вид $3^5 \cdot 3^x = 3^8$. Из этого следует, что показатели степеней складываются: $5 + x = 8$. Решая уравнение, находим $x = 8 - 5 = 3$. Значит, вместо звёздочки нужно записать число $3^3$. Ответ: $3^3$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для равенства $4^3 \cdot * = 4^6$. Пусть искомое число равно $4^x$. Тогда получаем $4^3 \cdot 4^x = 4^6$, откуда $3 + x = 6$. Решая это уравнение, получаем $x = 6 - 3 = 3$. Следовательно, искомое число — это $4^3$. Ответ: $4^3$.

в) Для равенства $2^4 \cdot * = 2^2$ также применяется свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Пусть недостающее число — это $2^x$. Тогда $2^4 \cdot 2^x = 2^2$, что означает $4 + x = 2$. Решая уравнение, находим $x = 2 - 4 = -2$. Таким образом, вместо звёздочки должно стоять число $2^{-2}$. Ответ: $2^{-2}$.

г) В этом случае используется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В равенстве $(5^3)^* = 5^6$ звёздочка обозначает показатель степени, в которую возводится $5^3$. Обозначим его через $x$. Тогда $(5^3)^x = 5^6$. Отсюда следует, что показатели степеней перемножаются: $3 \cdot x = 6$. Решая уравнение, получаем $x = 6 / 3 = 2$. Значит, искомое число — это 2. Ответ: 2.

д) Используем то же свойство возведения степени в степень, что и в предыдущем пункте: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для равенства $(4^3)^* = 4^{15}$ обозначим неизвестный показатель степени через $x$. Получаем $(4^3)^x = 4^{15}$. Это означает, что $3 \cdot x = 15$. Решая уравнение, находим $x = 15 / 3 = 5$. Искомое число — 5. Ответ: 5.

е) Здесь применяется свойство возведения в степень произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Равенство $2^* \cdot 3^* = 6^3$ можно переписать, используя это свойство в обратном порядке. Обозначив показатель степени через $x$, получаем $2^x \cdot 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x$. Таким образом, уравнение принимает вид $6^x = 6^3$. Отсюда следует, что $x=3$. Искомое число — 3. Ответ: 3.

ж) В равенстве $4^5 : * = 4^2$ используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Пусть искомое число — это $4^x$. Тогда уравнение имеет вид $4^5 : 4^x = 4^2$. Это означает, что показатели степеней вычитаются: $5 - x = 2$. Решая уравнение, находим $x = 5 - 2 = 3$. Следовательно, вместо звёздочки нужно записать $4^3$. Ответ: $4^3$.

з) Для равенства $3^5 : * = 3^7$ также применяем свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$. Обозначим недостающее число как $3^x$. Получаем $3^5 : 3^x = 3^7$. Отсюда следует, что $5 - x = 7$. Решая уравнение, находим $x = 5 - 7 = -2$. Таким образом, искомое число — это $3^{-2}$. Ответ: $3^{-2}$.

и) В выражении $(2 \cdot 3)^* = 6^5$ сначала выполним умножение в скобках: $2 \cdot 3 = 6$. Равенство принимает вид $6^* = 6^5$. Очевидно, что для того, чтобы равенство было верным, показатели степеней должны быть равны. Если обозначить искомое число через $x$, то $6^x = 6^5$, откуда $x=5$. Искомое число — 5. Ответ: 5.