Страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

602.

a) Что называют записью числа в стандартном виде?

б) Любое ли положительное число можно записать в стандартном виде?

в) Как привести число к стандартному виду, используя его значащие цифры?

а) Что называют записью числа в стандартном виде?

Записью числа в стандартном виде называют его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$. В этой записи число $a$, называемое мантиссой, должно удовлетворять неравенству $1 \le a < 10$, а показатель степени $n$, называемый порядком числа, должен быть целым числом ($n \in \mathbb{Z}$).

Стандартный вид удобен для записи очень больших и очень маленьких чисел. Например, масса Земли, равная 5 972 000 000 000 000 000 000 000 кг, в стандартном виде записывается как $5.972 \cdot 10^{24}$ кг. А масса молекулы воды, равная примерно 0.0000000000000000000000299 г, записывается как $2.99 \cdot 10^{-23}$ г.

Ответ: Записью числа в стандартном виде называют его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

б) Любое ли положительное число можно записать в стандартном виде?

Да, любое положительное число можно представить в стандартном виде, и притом единственным образом. Для любого положительного числа, будь то целое, дробное, очень большое или очень маленькое, всегда можно подобрать такую мантиссу $a$ и порядок $n$, которые будут удовлетворять определению стандартного вида.

• Для чисел, больших или равных 10 (например, 450), мы сдвигаем запятую влево, пока не получим число в диапазоне $[1, 10)$. Количество сдвигов дает положительный порядок: $450 = 4.5 \cdot 10^2$.
• Для чисел в диапазоне от 1 до 10 (например, 7.83), они уже имеют подходящую мантиссу, и порядок в этом случае равен нулю: $7.83 = 7.83 \cdot 10^0$.
• Для чисел, больших 0 и меньших 1 (например, 0.025), мы сдвигаем запятую вправо. Количество сдвигов дает отрицательный порядок: $0.025 = 2.5 \cdot 10^{-2}$.

Ответ: Да, любое положительное число можно записать в стандартном виде.

в) Как привести число к стандартному виду, используя его значащие цифры?

Чтобы привести число к стандартному виду, нужно выполнить следующий алгоритм:

1. В исходном числе определить его значащую часть — все цифры, начиная с первой ненулевой слева. Например, для числа 38400 значащая часть — 384, а для 0.0602 — 602.

2. Сформировать мантиссу $a$. Для этого в значащей части числа нужно поставить десятичную запятую после первой цифры. Это действие гарантирует, что мантисса $a$ будет лежать в полуинтервале $[1, 10)$. Для 38400 мантисса будет $3.84$. Для 0.0602 мантисса будет $6.02$.

3. Определить порядок числа $n$. Порядок — это целое число, показывающее, на сколько разрядов и в какую сторону нужно сдвинуть десятичную запятую в мантиссе $a$, чтобы получить исходное число.
• Если для получения исходного числа запятую нужно сдвинуть вправо, порядок $n$ будет положительным.
• Если для получения исходного числа запятую нужно сдвинуть влево, порядок $n$ будет отрицательным.
Например, чтобы из $3.84$ получить 38400, нужно сдвинуть запятую на 4 разряда вправо, значит $n=4$. Чтобы из $6.02$ получить 0.0602, нужно сдвинуть запятую на 2 разряда влево, значит $n=-2$.

4. Записать число в стандартном виде, как произведение мантиссы на десять в степени порядка: $a \cdot 10^n$. Для наших примеров: $38400 = 3.84 \cdot 10^4$ и $0.0602 = 6.02 \cdot 10^{-2}$.

Ответ: Чтобы привести число к стандартному виду, нужно из его значащих цифр сформировать мантиссу $a$ (число от 1 до 10), поставив запятую после первой значащей цифры, и умножить ее на $10^n$, где $n$ — это порядок, равный числу разрядов, на которое нужно сместить запятую в мантиссе для получения исходного числа (положительный для сдвига вправо, отрицательный — для сдвига влево).

603. Запишите число в стандартном виде, укажите порядок числа:

а) 27,4;
б) 3821;
в) 0,0011;
г) 290 000;
д) 0,00013;
е) 0,00987;
ж) 12 345;
з) 980 012;
и) 9835;
к) 197;
л) 11910;
м) 12190.

Стандартным видом числа называется его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

а) Чтобы записать число 27,4 в стандартном виде, необходимо представить его в виде произведения $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$. Для этого переместим запятую в числе 27,4 влево на один знак, чтобы получить число 2,74, которое удовлетворяет условию $1 \le 2,74 < 10$. Поскольку мы уменьшили число в 10 раз (переместив запятую на 1 знак влево), мы должны умножить его на $10^1$, чтобы значение осталось прежним. Таким образом, $27,4 = 2,74 \times 10^1$. Порядок числа — это показатель степени $n$, в данном случае он равен 1.
Ответ: стандартный вид $2,74 \times 10^1$, порядок числа 1.

б) Представим число 3821 в стандартном виде. Переместим запятую, которая по умолчанию находится в конце числа (3821,), на 3 знака влево, чтобы получить число 3,821. Это число удовлетворяет условию $1 \le 3,821 < 10$. Перенос запятой на 3 знака влево эквивалентен делению на $10^3$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^3$. Следовательно, $3821 = 3,821 \times 10^3$. Порядок числа равен 3.
Ответ: стандартный вид $3,821 \times 10^3$, порядок числа 3.

в) Запишем число 0,0011 в стандартном виде. Переместим запятую вправо на 3 знака, чтобы получить число 1,1, которое удовлетворяет условию $1 \le 1,1 < 10$. Перенос запятой на 3 знака вправо эквивалентен умножению на $10^3$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^{-3}$. Следовательно, $0,0011 = 1,1 \times 10^{-3}$. Порядок числа равен -3.
Ответ: стандартный вид $1,1 \times 10^{-3}$, порядок числа -3.

г) Представим число 290 000 в стандартном виде. Переместим запятую, которая находится в конце числа, на 5 знаков влево, чтобы получить число 2,9. Это число удовлетворяет условию $1 \le 2,9 < 10$. Перенос запятой на 5 знаков влево эквивалентен делению на $10^5$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^5$. Следовательно, $290 000 = 2,9 \times 10^5$. Порядок числа равен 5.
Ответ: стандартный вид $2,9 \times 10^5$, порядок числа 5.

д) Запишем число 0,00013 в стандартном виде. Переместим запятую вправо на 4 знака, чтобы получить число 1,3, которое удовлетворяет условию $1 \le 1,3 < 10$. Перенос запятой на 4 знака вправо эквивалентен умножению на $10^4$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^{-4}$. Следовательно, $0,00013 = 1,3 \times 10^{-4}$. Порядок числа равен -4.
Ответ: стандартный вид $1,3 \times 10^{-4}$, порядок числа -4.

е) Запишем число 0,00987 в стандартном виде. Переместим запятую вправо на 3 знака, чтобы получить число 9,87, которое удовлетворяет условию $1 \le 9,87 < 10$. Перенос запятой на 3 знака вправо эквивалентен умножению на $10^3$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^{-3}$. Следовательно, $0,00987 = 9,87 \times 10^{-3}$. Порядок числа равен -3.
Ответ: стандартный вид $9,87 \times 10^{-3}$, порядок числа -3.

ж) Представим число 12 345 в стандартном виде. Переместим запятую на 4 знака влево, чтобы получить число 1,2345. Это число удовлетворяет условию $1 \le 1,2345 < 10$. Перенос запятой на 4 знака влево эквивалентен делению на $10^4$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^4$. Следовательно, $12 345 = 1,2345 \times 10^4$. Порядок числа равен 4.
Ответ: стандартный вид $1,2345 \times 10^4$, порядок числа 4.

з) Представим число 980 012 в стандартном виде. Переместим запятую на 5 знаков влево, чтобы получить число 9,80012. Это число удовлетворяет условию $1 \le 9,80012 < 10$. Перенос запятой на 5 знаков влево эквивалентен делению на $10^5$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^5$. Следовательно, $980 012 = 9,80012 \times 10^5$. Порядок числа равен 5.
Ответ: стандартный вид $9,80012 \times 10^5$, порядок числа 5.

и) Представим число 9835 в стандартном виде. Переместим запятую на 3 знака влево, чтобы получить число 9,835, которое удовлетворяет условию $1 \le 9,835 < 10$. Перенос запятой на 3 знака влево эквивалентен делению на $10^3$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^3$. Следовательно, $9835 = 9,835 \times 10^3$. Порядок числа равен 3.
Ответ: стандартный вид $9,835 \times 10^3$, порядок числа 3.

к) Представим число 197 в стандартном виде. Переместим запятую на 2 знака влево, чтобы получить число 1,97, которое удовлетворяет условию $1 \le 1,97 < 10$. Перенос запятой на 2 знака влево эквивалентен делению на $10^2$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^2$. Следовательно, $197 = 1,97 \times 10^2$. Порядок числа равен 2.
Ответ: стандартный вид $1,97 \times 10^2$, порядок числа 2.

л) Представим число 11 910 в стандартном виде. Переместим запятую на 4 знака влево, чтобы получить число 1,191. Это число удовлетворяет условию $1 \le 1,191 < 10$. Перенос запятой на 4 знака влево эквивалентен делению на $10^4$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^4$. Следовательно, $11 910 = 1,191 \times 10^4$. Порядок числа равен 4.
Ответ: стандартный вид $1,191 \times 10^4$, порядок числа 4.

м) Представим число 12 190 в стандартном виде. Переместим запятую на 4 знака влево, чтобы получить число 1,219. Это число удовлетворяет условию $1 \le 1,219 < 10$. Перенос запятой на 4 знака влево эквивалентен делению на $10^4$. Чтобы сохранить исходное значение, нужно умножить результат на $10^4$. Следовательно, $12 190 = 1,219 \times 10^4$. Порядок числа равен 4.
Ответ: стандартный вид $1,219 \times 10^4$, порядок числа 4.

604. Назовите все значащие цифры числа в задании 603.

Значащими цифрами числа называются все его цифры, начиная с первой ненулевой слева. Согласно этому определению, все цифры от 1 до 9 всегда являются значащими. Цифра 0 считается значащей, если она расположена между другими значащими цифрами.

В задании 604 требуется указать значащие цифры числа из задания 603. Так как текст задания 603 отсутствует, наиболее вероятным является предположение, что речь идет о самом числе 603.

Проанализируем число 603 на основе правил определения значащих цифр:
1. Цифра 6 — первая ненулевая цифра, следовательно, она является значащей.
2. Цифра 0 — находится между двумя значащими цифрами (6 и 3), поэтому она также является значащей.
3. Цифра 3 — является ненулевой цифрой и поэтому значащая.

Таким образом, в числе 603 все цифры — 6, 0 и 3 — являются значащими.

Ответ: 6, 0, 3.

605. При каком значении n выполняется равенство:

а) $60,2 \cdot 10^n = 6,02 \cdot 10^3;$

б) $352 \cdot 10^n = 3,52 \cdot 10^{12};$

в) $740 \cdot 10^n = 7,4 \cdot 10^{-4};$

г) $19800 \cdot 10^n = 1,9800 \cdot 10^{-15};$

д) $0,02 \cdot 10^n = 2 \cdot 10^7;$

е) $0,036 \cdot 10^n = 3,6 \cdot 10^3;$

ж) $0,0005 \cdot 10^n = 5;$

з) $0,000188 \cdot 10^n = 1,88 \cdot 10^{-8}?$

а) Чтобы найти $n$ в равенстве $60,2 \cdot 10^n = 6,02 \cdot 10^3$, приведем левую часть к такому же виду, как и правую. Для этого представим число $60,2$ в стандартном виде: $60,2 = 6,02 \cdot 10^1$.
Подставим это выражение в исходное равенство:
$(6,02 \cdot 10^1) \cdot 10^n = 6,02 \cdot 10^3$
Применяя свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, получаем:
$6,02 \cdot 10^{1+n} = 6,02 \cdot 10^3$
Поскольку множители перед степенями равны, мы можем приравнять показатели степеней:
$1 + n = 3$
$n = 3 - 1$
$n = 2$
Ответ: $n = 2$.

б) В равенстве $352 \cdot 10^n = 3,52 \cdot 10^{12}$ представим число $352$ в виде $3,52 \cdot 10^2$.
$(3,52 \cdot 10^2) \cdot 10^n = 3,52 \cdot 10^{12}$
$3,52 \cdot 10^{2+n} = 3,52 \cdot 10^{12}$
Приравниваем показатели степеней:
$2 + n = 12$
$n = 12 - 2$
$n = 10$
Ответ: $n = 10$.

в) В равенстве $740 \cdot 10^n = 7,4 \cdot 10^{-4}$ представим $740$ как $7,4 \cdot 10^2$.
$(7,4 \cdot 10^2) \cdot 10^n = 7,4 \cdot 10^{-4}$
$7,4 \cdot 10^{2+n} = 7,4 \cdot 10^{-4}$
Приравниваем показатели степеней:
$2 + n = -4$
$n = -4 - 2$
$n = -6$
Ответ: $n = -6$.

г) В равенстве $19 800 \cdot 10^n = 1,9800 \cdot 10^{-15}$ представим $19 800$ как $1,98 \cdot 10^4$.
$(1,98 \cdot 10^4) \cdot 10^n = 1,98 \cdot 10^{-15}$
$1,98 \cdot 10^{4+n} = 1,98 \cdot 10^{-15}$
Приравниваем показатели степеней:
$4 + n = -15$
$n = -15 - 4$
$n = -19$
Ответ: $n = -19$.

д) В равенстве $0,02 \cdot 10^n = 2 \cdot 10^7$ представим $0,02$ как $2 \cdot 10^{-2}$.
$(2 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^n = 2 \cdot 10^7$
$2 \cdot 10^{-2+n} = 2 \cdot 10^7$
Приравниваем показатели степеней:
$-2 + n = 7$
$n = 7 + 2$
$n = 9$
Ответ: $n = 9$.

е) В равенстве $0,036 \cdot 10^n = 3,6 \cdot 10^3$ представим $0,036$ как $3,6 \cdot 10^{-2}$.
$(3,6 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^n = 3,6 \cdot 10^3$
$3,6 \cdot 10^{-2+n} = 3,6 \cdot 10^3$
Приравниваем показатели степеней:
$-2 + n = 3$
$n = 3 + 2$
$n = 5$
Ответ: $n = 5$.

ж) В равенстве $0,0005 \cdot 10^n = 5$ представим $0,0005$ как $5 \cdot 10^{-4}$ и $5$ как $5 \cdot 10^0$.
$(5 \cdot 10^{-4}) \cdot 10^n = 5 \cdot 10^0$
$5 \cdot 10^{-4+n} = 5 \cdot 10^0$
Приравниваем показатели степеней:
$-4 + n = 0$
$n = 4$
Ответ: $n = 4$.

з) В равенстве $0,000188 \cdot 10^n = 1,88 \cdot 10^{-8}$ представим $0,000188$ как $1,88 \cdot 10^{-4}$.
$(1,88 \cdot 10^{-4}) \cdot 10^n = 1,88 \cdot 10^{-8}$
$1,88 \cdot 10^{-4+n} = 1,88 \cdot 10^{-8}$
Приравниваем показатели степеней:
$-4 + n = -8$
$n = -8 + 4$
$n = -4$
Ответ: $n = -4$.

606. Запишите число в стандартном виде:

а) $27,4 \cdot 10^2;$

б) $382 \cdot 10^{-4};$

в) $0,11 \cdot 10^8;$

г) $290 \cdot 10^{-3};$

д) $0,12 \cdot 10^{-2};$

е) $0,19 \cdot 10^{-2};$

ж) $0,069 \cdot 10^4;$

з) $9992 \cdot 10^0;$

и) $0,480 \cdot 10^{-2};$

к) $0,0398 \cdot 10^2;$

л) $796 \cdot 10^4;$

м) $9989 \cdot 10^0.$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $a$ называется мантиссой, а $n$ — порядком числа. Чтобы привести число к стандартному виду, необходимо преобразовать первый множитель (мантиссу) так, чтобы он попал в указанный диапазон, и скорректировать показатель степени $n$.

а) В числе $27,4 \cdot 10^2$ мантисса $27,4$ больше $10$. Чтобы привести ее к стандартному виду, перенесем запятую на 1 знак влево, получив $2,74$. Так как мы уменьшили мантиссу в $10$ раз, для сохранения значения числа необходимо увеличить показатель степени на $1$. Новый показатель будет равен $2+1=3$.
$27,4 \cdot 10^2 = (2,74 \cdot 10^1) \cdot 10^2 = 2,74 \cdot 10^{1+2} = 2,74 \cdot 10^3$.
Ответ: $2,74 \cdot 10^3$.

б) В числе $382 \cdot 10^{-4}$ мантисса $382$ больше $10$. Перенесем запятую на 2 знака влево, чтобы получить $3,82$. Так как мы уменьшили мантиссу в $100$ раз ($10^2$), показатель степени нужно увеличить на $2$. Новый показатель: $-4+2=-2$.
$382 \cdot 10^{-4} = (3,82 \cdot 10^2) \cdot 10^{-4} = 3,82 \cdot 10^{2-4} = 3,82 \cdot 10^{-2}$.
Ответ: $3,82 \cdot 10^{-2}$.

в) В числе $0,11 \cdot 10^8$ мантисса $0,11$ меньше $1$. Перенесем запятую на 1 знак вправо, чтобы получить $1,1$. Так как мы увеличили мантиссу в $10$ раз, показатель степени нужно уменьшить на $1$. Новый показатель: $8-1=7$.
$0,11 \cdot 10^8 = (1,1 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^8 = 1,1 \cdot 10^{-1+8} = 1,1 \cdot 10^7$.
Ответ: $1,1 \cdot 10^7$.

г) В числе $290 \cdot 10^{-3}$ мантисса $290$ больше $10$. Перенесем запятую на 2 знака влево, получив $2,9$. Так как мы уменьшили мантиссу в $100$ раз ($10^2$), показатель степени нужно увеличить на $2$. Новый показатель: $-3+2=-1$.
$290 \cdot 10^{-3} = (2,9 \cdot 10^2) \cdot 10^{-3} = 2,9 \cdot 10^{2-3} = 2,9 \cdot 10^{-1}$.
Ответ: $2,9 \cdot 10^{-1}$.

д) В числе $0,12 \cdot 10^{-2}$ мантисса $0,12$ меньше $1$. Перенесем запятую на 1 знак вправо, получив $1,2$. Так как мы увеличили мантиссу в $10$ раз, показатель степени нужно уменьшить на $1$. Новый показатель: $-2-1=-3$.
$0,12 \cdot 10^{-2} = (1,2 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-2} = 1,2 \cdot 10^{-1-2} = 1,2 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: $1,2 \cdot 10^{-3}$.

е) В числе $0,19 \cdot 10^{-2}$ мантисса $0,19$ меньше $1$. Перенесем запятую на 1 знак вправо, получив $1,9$. Так как мы увеличили мантиссу в $10$ раз, показатель степени нужно уменьшить на $1$. Новый показатель: $-2-1=-3$.
$0,19 \cdot 10^{-2} = (1,9 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-2} = 1,9 \cdot 10^{-1-2} = 1,9 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: $1,9 \cdot 10^{-3}$.

ж) В числе $0,069 \cdot 10^4$ мантисса $0,069$ меньше $1$. Перенесем запятую на 2 знака вправо, получив $6,9$. Так как мы увеличили мантиссу в $100$ раз ($10^2$), показатель степени нужно уменьшить на $2$. Новый показатель: $4-2=2$.
$0,069 \cdot 10^4 = (6,9 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^4 = 6,9 \cdot 10^{-2+4} = 6,9 \cdot 10^2$.
Ответ: $6,9 \cdot 10^2$.

з) В числе $9992 \cdot 10^0$ мантисса $9992$ больше $10$. Перенесем запятую на 3 знака влево, получив $9,992$. Так как мы уменьшили мантиссу в $1000$ раз ($10^3$), показатель степени нужно увеличить на $3$. Новый показатель: $0+3=3$.
$9992 \cdot 10^0 = (9,992 \cdot 10^3) \cdot 10^0 = 9,992 \cdot 10^{3+0} = 9,992 \cdot 10^3$.
Ответ: $9,992 \cdot 10^3$.

и) В числе $0,480 \cdot 10^{-2}$ мантисса $0,480$ меньше $1$. Перенесем запятую на 1 знак вправо, получив $4,8$. Так как мы увеличили мантиссу в $10$ раз, показатель степени нужно уменьшить на $1$. Новый показатель: $-2-1=-3$.
$0,480 \cdot 10^{-2} = (4,8 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-2} = 4,8 \cdot 10^{-1-2} = 4,8 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: $4,8 \cdot 10^{-3}$.

к) В числе $0,0398 \cdot 10^2$ мантисса $0,0398$ меньше $1$. Перенесем запятую на 2 знака вправо, получив $3,98$. Так как мы увеличили мантиссу в $100$ раз ($10^2$), показатель степени нужно уменьшить на $2$. Новый показатель: $2-2=0$.
$0,0398 \cdot 10^2 = (3,98 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^2 = 3,98 \cdot 10^{-2+2} = 3,98 \cdot 10^0$.
Ответ: $3,98 \cdot 10^0$.

л) В числе $796 \cdot 10^4$ мантисса $796$ больше $10$. Перенесем запятую на 2 знака влево, получив $7,96$. Так как мы уменьшили мантиссу в $100$ раз ($10^2$), показатель степени нужно увеличить на $2$. Новый показатель: $4+2=6$.
$796 \cdot 10^4 = (7,96 \cdot 10^2) \cdot 10^4 = 7,96 \cdot 10^{2+4} = 7,96 \cdot 10^6$.
Ответ: $7,96 \cdot 10^6$.

м) В числе $9989 \cdot 10^0$ мантисса $9989$ больше $10$. Перенесем запятую на 3 знака влево, получив $9,989$. Так как мы уменьшили мантиссу в $1000$ раз ($10^3$), показатель степени нужно увеличить на $3$. Новый показатель: $0+3=3$.
$9989 \cdot 10^0 = (9,989 \cdot 10^3) \cdot 10^0 = 9,989 \cdot 10^{3+0} = 9,989 \cdot 10^3$.
Ответ: $9,989 \cdot 10^3$.