Номер 602, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.3. Стандартный вид числа. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 602, страница 156.

Условие.

602.

a) Что называют записью числа в стандартном виде?

б) Любое ли положительное число можно записать в стандартном виде?

в) Как привести число к стандартному виду, используя его значащие цифры?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Что называют записью числа в стандартном виде?

Записью числа в стандартном виде называют его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$. В этой записи число $a$, называемое мантиссой, должно удовлетворять неравенству $1 \le a < 10$, а показатель степени $n$, называемый порядком числа, должен быть целым числом ($n \in \mathbb{Z}$).

Стандартный вид удобен для записи очень больших и очень маленьких чисел. Например, масса Земли, равная 5 972 000 000 000 000 000 000 000 кг, в стандартном виде записывается как $5.972 \cdot 10^{24}$ кг. А масса молекулы воды, равная примерно 0.0000000000000000000000299 г, записывается как $2.99 \cdot 10^{-23}$ г.

Ответ: Записью числа в стандартном виде называют его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

б) Любое ли положительное число можно записать в стандартном виде?

Да, любое положительное число можно представить в стандартном виде, и притом единственным образом. Для любого положительного числа, будь то целое, дробное, очень большое или очень маленькое, всегда можно подобрать такую мантиссу $a$ и порядок $n$, которые будут удовлетворять определению стандартного вида.

• Для чисел, больших или равных 10 (например, 450), мы сдвигаем запятую влево, пока не получим число в диапазоне $[1, 10)$. Количество сдвигов дает положительный порядок: $450 = 4.5 \cdot 10^2$.
• Для чисел в диапазоне от 1 до 10 (например, 7.83), они уже имеют подходящую мантиссу, и порядок в этом случае равен нулю: $7.83 = 7.83 \cdot 10^0$.
• Для чисел, больших 0 и меньших 1 (например, 0.025), мы сдвигаем запятую вправо. Количество сдвигов дает отрицательный порядок: $0.025 = 2.5 \cdot 10^{-2}$.

Ответ: Да, любое положительное число можно записать в стандартном виде.

в) Как привести число к стандартному виду, используя его значащие цифры?

Чтобы привести число к стандартному виду, нужно выполнить следующий алгоритм:

1. В исходном числе определить его значащую часть — все цифры, начиная с первой ненулевой слева. Например, для числа 38400 значащая часть — 384, а для 0.0602 — 602.

2. Сформировать мантиссу $a$. Для этого в значащей части числа нужно поставить десятичную запятую после первой цифры. Это действие гарантирует, что мантисса $a$ будет лежать в полуинтервале $[1, 10)$. Для 38400 мантисса будет $3.84$. Для 0.0602 мантисса будет $6.02$.

3. Определить порядок числа $n$. Порядок — это целое число, показывающее, на сколько разрядов и в какую сторону нужно сдвинуть десятичную запятую в мантиссе $a$, чтобы получить исходное число.
• Если для получения исходного числа запятую нужно сдвинуть вправо, порядок $n$ будет положительным.
• Если для получения исходного числа запятую нужно сдвинуть влево, порядок $n$ будет отрицательным.
Например, чтобы из $3.84$ получить 38400, нужно сдвинуть запятую на 4 разряда вправо, значит $n=4$. Чтобы из $6.02$ получить 0.0602, нужно сдвинуть запятую на 2 разряда влево, значит $n=-2$.

4. Записать число в стандартном виде, как произведение мантиссы на десять в степени порядка: $a \cdot 10^n$. Для наших примеров: $38400 = 3.84 \cdot 10^4$ и $0.0602 = 6.02 \cdot 10^{-2}$.

Ответ: Чтобы привести число к стандартному виду, нужно из его значащих цифр сформировать мантиссу $a$ (число от 1 до 10), поставив запятую после первой значащей цифры, и умножить ее на $10^n$, где $n$ — это порядок, равный числу разрядов, на которое нужно сместить запятую в мантиссе для получения исходного числа (положительный для сдвига вправо, отрицательный — для сдвига влево).