Страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

570. a) Что понимают под $a^0$, если $a \ne 0$?

б) Что понимают под $a^{-m}$, если $a \ne 0$ и $m$ — натуральное число?

в) Что называют степенью с целым показателем?

г) Имеет ли смысл выражение: $0^5$; $0^0$; $0^{-5}$?

а) Под степенью числа $a$ с нулевым показателем (при условии, что $a \neq 0$), то есть под выражением $a^0$, понимают число 1. Это определение вводится для сохранения свойств степеней. Например, для свойства частного степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Если положить $m=n$, то получим $a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$. С другой стороны, частное любого числа, не равного нулю, на само себя равно 1. Следовательно, принимается, что $a^0 = 1$.
Ответ: Под $a^0$ (при $a \neq 0$) понимают число 1.

б) Под степенью числа $a$ с целым отрицательным показателем $-m$ (где $a \neq 0$ и $m$ — натуральное число), то есть под выражением $a^{-m}$, понимают дробь, числитель которой равен 1, а знаменатель — степени $a^m$. Таким образом, по определению $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$. Это определение также позволяет сохранить свойства степеней. Например, используя свойство $a^p : a^q = a^{p-q}$ и полагая $p=0$, $q=m$, получаем $a^0 : a^m = a^{0-m} = a^{-m}$. Так как $a^0=1$, то $1 : a^m = \frac{1}{a^m}$. Следовательно, $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$.
Ответ: Под $a^{-m}$ (при $a \neq 0$ и $m$ — натуральное число) понимают дробь $\frac{1}{a^m}$.

в) Степенью с целым показателем называют число $a^n$, где $a$ — основание степени, а $n$ — показатель степени, который является любым целым числом (положительным, отрицательным или нулем). Это понятие является обобщением степени с натуральным показателем и определяется следующим образом:
1. Если $n$ — натуральное число ($n > 0$), то $a^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$.
2. Если $n = 0$ и $a \neq 0$, то $a^0 = 1$.
3. Если $n$ — целое отрицательное число (то есть $n = -m$, где $m$ — натуральное число) и $a \neq 0$, то $a^n = a^{-m} = \frac{1}{a^m}$.
Ответ: Степенью с целым показателем $n$ и основанием $a$ называют число $a^n$, равное произведению $n$ множителей $a$ при натуральном $n$, равное 1 при $n=0$ (для $a \neq 0$), и равное $\frac{1}{a^{-n}}$ при отрицательном $n$ (для $a \neq 0$).

г) Проанализируем каждое из предложенных выражений:
1. Выражение $0^5$: Это степень с натуральным показателем (5 — натуральное число). По определению, $0^5 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$. Данное выражение имеет смысл и его значение равно 0.
2. Выражение $0^0$: Это степень с нулевым показателем и нулевым основанием. По определению, степень с нулевым показателем $a^0$ определена только для $a \neq 0$. Таким образом, выражение $0^0$ является неопределенным и не имеет смысла в рамках школьной программы.
3. Выражение $0^{-5}$: Это степень с целым отрицательным показателем и нулевым основанием. По определению, степень с отрицательным показателем $a^{-m}$ определена только для $a \neq 0$, так как $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, а деление на ноль ($0^m=0$) невозможно. Следовательно, выражение $0^{-5}$ не имеет смысла.
Ответ: Имеет смысл только выражение $0^5$. Выражения $0^0$ и $0^{-5}$ смысла не имеют.

Вычислите (571–572):

571. а) $5^0$;

б) $(-\frac{1}{3})^0$;

в) $(-1,2)^0$;

г) $(-1)^0$.

а) Согласно свойству степени, любое число, не равное нулю, при возведении в нулевую степень дает в результате единицу. Так как основание степени 5 отлично от нуля, то $5^0 = 1$.
Ответ: 1.

б) Это правило справедливо для любых чисел, включая отрицательные дроби. Основание степени $(-\frac{1}{3})$ не равно нулю, поэтому при возведении в нулевую степень результат будет равен единице. $(-\frac{1}{3})^0 = 1$.
Ответ: 1.

в) Правило о нулевой степени распространяется и на десятичные дроби. Основание степени $-1,2$ не является нулем, следовательно, $(-1,2)^0 = 1$.
Ответ: 1.

г) Аналогично предыдущим примерам, основание степени $-1$ не равно нулю. Таким образом, при возведении в нулевую степень мы получаем единицу: $(-1)^0 = 1$.
Ответ: 1.

572. а) $\frac{2^4}{2^3};$

б) $\frac{2^4}{2^4};$

в) $\frac{2^4}{2^5};$

г) $\frac{2^5}{2^7};$

д) $\frac{3^5}{3^4};$

е) $\frac{3^{100}}{3^{100}};$

ж) $\frac{(-0,3)^4}{(-0,3)^5};$

з) $\frac{0,2^7}{0,2^5}.$

а) Для деления степеней с одинаковым основанием используется правило: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. В данном случае основание равно 2.

$\frac{2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2.

б) Применяем то же правило деления степеней:

$\frac{2^4}{2^4} = 2^{4-4} = 2^0$.

Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно 1. Поэтому $2^0 = 1$.

Ответ: 1.

в) Используем правило деления степеней. Показатель степени в результате будет отрицательным:

$\frac{2^4}{2^5} = 2^{4-5} = 2^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем: $2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Аналогично предыдущему примеру, применяем правило деления степеней:

$\frac{2^5}{2^7} = 2^{5-7} = 2^{-2}$.

Далее преобразуем степень с отрицательным показателем: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

д) Применяем правило деления степеней для основания 3:

$\frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3.

е) Применяем правило деления степеней:

$\frac{3^{100}}{3^{100}} = 3^{100-100} = 3^0 = 1$.

Ответ: 1.

ж) Основание степени в данном случае — отрицательное число $-0,3$. Правило деления степеней остается тем же:

$\frac{(-0,3)^4}{(-0,3)^5} = (-0,3)^{4-5} = (-0,3)^{-1}$.

Преобразуем степень с отрицательным показателем: $(-0,3)^{-1} = \frac{1}{-0,3} = \frac{1}{-3/10} = -\frac{10}{3}$.

Ответ: $-\frac{10}{3}$.

з) Основание степени — десятичная дробь 0,2. Применяем правило деления степеней:

$\frac{0,2^7}{0,2^5} = 0,2^{7-5} = 0,2^2$.

Вычисляем квадрат числа: $0,2^2 = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$.

Ответ: 0,04.

573. Определите, имеет ли смысл выражение. Если да, то вычислите его значение:

а) $ (0,25 \cdot 79 - 3,21 \cdot 2 \frac{1}{11})^0 $

б) $ (0,48 \cdot 5,2 - 4,8 \cdot 0,52)^0 $.

а) Рассмотрим выражение $(0.25 \cdot 79 - 3.21 \cdot 2\frac{1}{11})^0$.

Чтобы определить, имеет ли смысл данное выражение, нужно проверить, не равно ли нулю его основание, то есть выражение в скобках. Согласно определению, любое число $a$, не равное нулю, в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$ при $a \neq 0$). Выражение $0^0$ не определено и не имеет смысла.

Проверим основание степени: $0.25 \cdot 79 - 3.21 \cdot 2\frac{1}{11}$.

1. Вычислим первое произведение: $0.25 \cdot 79 = \frac{1}{4} \cdot 79 = \frac{79}{4} = 19,75$.

2. Рассмотрим второе произведение: $3.21 \cdot 2\frac{1}{11}$. Переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 1}{11} = \frac{23}{11}$.

Теперь выражение в скобках имеет вид: $19,75 - 3.21 \cdot \frac{23}{11}$.

Чтобы основание было равно нулю, должно выполняться равенство $19,75 = 3.21 \cdot \frac{23}{11}$. Оценим значение правой части: $\frac{23}{11}$ это чуть больше 2 ($2 \cdot 11 = 22$). Значит, $3.21 \cdot \frac{23}{11}$ примерно равно $3.21 \cdot 2 = 6.42$. Очевидно, что $19,75 \neq 3.21 \cdot \frac{23}{11}$, следовательно, основание степени не равно нулю.

Поскольку основание степени не равно нулю, выражение имеет смысл, и по свойству степени с нулевым показателем его значение равно 1.

Ответ: выражение имеет смысл, его значение равно 1.

б) Рассмотрим выражение $(0.48 \cdot 5.2 - 4.8 \cdot 0.52)^0$.

Так же, как и в предыдущем задании, определим значение основания степени: $0.48 \cdot 5.2 - 4.8 \cdot 0.52$.

Можно заметить, что множители во втором произведении связаны с множителями в первом. Представим $4.8$ как $0.48 \cdot 10$ и $0.52$ как $5.2 : 10$.

Тогда второе произведение можно преобразовать:

$4.8 \cdot 0.52 = (0.48 \cdot 10) \cdot (5.2 : 10) = 0.48 \cdot 10 \cdot \frac{5.2}{10} = 0.48 \cdot 5.2$.

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение для основания:

$0.48 \cdot 5.2 - 0.48 \cdot 5.2 = 0$.

Основание степени равно нулю. Это означает, что мы имеем дело с выражением вида $0^0$, которое не определено (не имеет смысла).

Ответ: выражение не имеет смысла.

574. Запишите в виде степени с целым показателем:

a) $2 \cdot 2 \cdot 2$;

б) $2^3 \cdot 2^5$;

в) $\frac{1}{3^2}$;

г) $\frac{1}{3}$;

д) $\frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$;

е) $5$;

ж) $\frac{1}{16}$;

з) $\frac{1}{25}$;

и) $2^3 : 2^3$;

к) $\frac{9^7}{9^5}$;

л) $\frac{0,5^6}{0,5^7}$;

м) $\left(-\frac{1}{5}\right)^3 : \left(-\frac{1}{5}\right)^7$.

а) По определению степени, произведение трех одинаковых множителей, равных 2, можно записать как основание 2 в степени 3, где 3 - количество множителей.

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Ответ: $2^3$

б) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$

Ответ: $2^8$

в) Используем определение степени с отрицательным целым показателем, согласно которому $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

$\frac{1}{3^2} = 3^{-2}$

Ответ: $3^{-2}$

г) Любое число можно представить как это число в первой степени ($a = a^1$). Затем применяем правило для отрицательной степени.

$\frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} = 3^{-1}$

Ответ: $3^{-1}$

д) Сначала представим знаменатель в виде степени. Произведение четырех одинаковых множителей, равных 3, есть $3^4$.

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$

Затем, используя правило $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получим:

$\frac{1}{3^4} = 3^{-4}$

Ответ: $3^{-4}$

е) Любое число можно представить в виде степени с показателем 1, так как по определению $a^1 = a$.

$5 = 5^1$

Ответ: $5^1$

ж) Сначала представим число 16 в виде степени. Поскольку $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

Затем применяем правило для отрицательной степени $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:

$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$

Ответ: $2^{-4}$

з) Представим основание 25 в виде степени: $25 = 5^2$. Затем воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$\frac{1}{25^2} = \frac{1}{(5^2)^2} = \frac{1}{5^{2 \cdot 2}} = \frac{1}{5^4}$

Теперь применяем правило для отрицательной степени:

$\frac{1}{5^4} = 5^{-4}$

Ответ: $5^{-4}$

и) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя. Используем правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$2^3 : 2^3 = 2^{3-3} = 2^0$

Ответ: $2^0$

к) Дробная черта означает деление. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Используем правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{9^7}{9^5} = 9^{7-5} = 9^2$

Ответ: $9^2$

л) Используем то же правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{0.5^6}{0.5^7} = 0.5^{6-7} = 0.5^{-1}$

Ответ: $0.5^{-1}$

м) Основанием степени является дробь $(-\frac{1}{5})$. Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(-\frac{1}{5})^3 : (-\frac{1}{5})^7 = (-\frac{1}{5})^{3-7} = (-\frac{1}{5})^{-4}$

Ответ: $(-\frac{1}{5})^{-4}$