Страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (575–577):

575. а) $10^4$; $10^3$; $10^2$; $10^1$; $10^0$; $10^{-1}$; $10^{-2}$; $10^{-3}$; $10^{-4}$;

б) $2^5$; $2^4$; $2^3$; $2^2$; $2^1$; $2^0$; $2^{-1}$; $2^{-2}$; $2^{-3}$; $2^{-4}$; $2^{-5}$;

в) $(-3)^3$; $(-3)^2$; $(-3)^1$; $(-3)^0$; $(-3)^{-1}$; $(-3)^{-2}$; $(-3)^{-3}$.

а)

Для вычисления степеней воспользуемся следующими правилами определения степени с целым показателем:
1. Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ — это произведение $n$ множителей, равных $a$: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ ($n$ раз).
2. Степень любого ненулевого числа $a$ с нулевым показателем равна единице: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).
3. Степень числа $a$ с целым отрицательным показателем $-n$ определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$).

Выполним вычисления для основания $10$:
$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$
$10^1 = 10$
$10^0 = 1$
$10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0,1$
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$
$10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0,0001$

Ответ: $10000$; $1000$; $100$; $10$; $1$; $0,1$; $0,01$; $0,001$; $0,0001$.

б)

Используя те же правила, что и в пункте а), вычислим степени числа 2:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$
$2^1 = 2$
$2^0 = 1$
$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

Ответ: $32$; $16$; $8$; $4$; $2$; $1$; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{32}$.

в)

При возведении отрицательного числа в степень, знак результата зависит от четности показателя:
• Если показатель степени — четное число, результат будет положительным. Например, $(-a)^{2k} = a^{2k}$.
• Если показатель степени — нечетное число, результат будет отрицательным. Например, $(-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}$.

Выполним вычисления для основания $-3$:
$(-3)^3 = -(3^3) = -27$ (показатель 3 — нечетный)
$(-3)^2 = 3^2 = 9$ (показатель 2 — четный)
$(-3)^1 = -3$ (показатель 1 — нечетный)
$(-3)^0 = 1$
$(-3)^{-1} = \frac{1}{(-3)^1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
$(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$ (знаменатель возводится в четную степень 2)
$(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$ (знаменатель возводится в нечетную степень 3)

Ответ: $-27$; $9$; $-3$; $1$; $-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; $-\frac{1}{27}$.

576. a) $1^{-1}$; $-1^{1}$; $(-1)^{1}$; $(-1)^{-1}$; $-1^{-1}$;

б) $1^{-2}$; $-1^{2}$; $(-1)^{2}$; $(-1)^{-2}$; $-1^{-2}$.

в) $2^{-2}$; $-2^{2}$; $(-2)^{2}$; $(-2)^{-2}$; $-2^{-2}$.

а)
$1^{-1} = \frac{1}{1^1} = 1$.
$-1^1 = -(1^1) = -1$. В этом выражении основанием степени является число $1$, а знак минус применяется к результату.
$(-1)^1 = -1$. Здесь основанием степени является число $(-1)$.
$(-1)^{-1} = \frac{1}{(-1)^1} = \frac{1}{-1} = -1$.
$-1^{-1} = -(1^{-1}) = -(\frac{1}{1^1}) = -1$. Знак минус не входит в основание степени.
Ответ: $1; -1; -1; -1; -1$.

б)
$1^{-2} = \frac{1}{1^2} = \frac{1}{1} = 1$.
$-1^2 = -(1^2) = -(1) = -1$. Основанием степени является число $1$.
$(-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$. Основанием степени является число $(-1)$.
$(-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1$.
$-1^{-2} = -(1^{-2}) = -(\frac{1}{1^2}) = -1$. Знак минус не входит в основание степени.
Ответ: $1; -1; 1; 1; -1$.

в)
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
$-2^2 = -(2^2) = -4$. Основанием степени является число $2$.
$(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$. Основанием степени является число $(-2)$.
$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
$-2^{-2} = -(2^{-2}) = -(\frac{1}{2^2}) = -\frac{1}{4}$. Знак минус не входит в основание степени.
Ответ: $\frac{1}{4}; -4; 4; \frac{1}{4}; -\frac{1}{4}$.

577. a) $4^{-2}$;

б) $3^{-1}$;

В) $3^{-4}$;

г) $7,12^0$;

д) $5^{-1} + 4^{-1}$;

е) $(5 + 4)^{-1}$;

ж) $4^{-1} - 5^{-1}$;

з) $(3^{-1} - 5^{-1})^{-2}$;

и) $2^{-3} + 4^{-2}$;

к) $3^{-2} - 9^{-1}$;

л) $4^2 \cdot 2^{-3}$;

м) $3^{-4} : 9^{-2}$.

а) Чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно взять обратное ему число (единицу, деленную на это число) и возвести в ту же степень, но с положительным знаком. Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

б) Используя то же свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Применяем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$

г) Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице. Используем свойство $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$):
$7,12^0 = 1$.
Ответ: $1$

д) Сначала преобразуем каждое слагаемое, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, а затем сложим полученные дроби:
$5^{-1} + 4^{-1} = \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $20$:
$\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{4+5}{20} = \frac{9}{20}$.
Ответ: $\frac{9}{20}$

е) Сначала выполняем действие в скобках, а затем возводим результат в степень:
$(5 + 4)^{-1} = 9^{-1}$.
Теперь применяем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$9^{-1} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

ж) Преобразуем каждое число в дробь и выполним вычитание:
$4^{-1} - 5^{-1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $20$:
$\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

з) Сначала выполняем вычитание в скобках, предварительно преобразовав степени в дроби:
$3^{-1} - 5^{-1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}$.
Теперь возводим полученную дробь в степень $-2$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{2}{15})^{-2} = (\frac{15}{2})^2 = \frac{15^2}{2^2} = \frac{225}{4}$.
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $56\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{225}{4}$

и) Преобразуем каждое слагаемое в дробь и сложим их:
$2^{-3} + 4^{-2} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4^2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $16$:
$\frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$

к) Преобразуем степени в дроби и выполним вычитание:
$3^{-2} - 9^{-1} = \frac{1}{3^2} - \frac{1}{9^1} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$.
Ответ: $0$

л) Преобразуем второй множитель в дробь и выполним умножение:
$4^2 \cdot 2^{-3} = 16 \cdot \frac{1}{2^3} = 16 \cdot \frac{1}{8} = \frac{16}{8} = 2$.
Другой способ: приведем основания к одному числу ($4 = 2^2$):
$4^2 \cdot 2^{-3} = (2^2)^2 \cdot 2^{-3} = 2^4 \cdot 2^{-3} = 2^{4-3} = 2^1 = 2$.
Ответ: $2$

м) Приведем основания степеней к одному числу ($9 = 3^2$) и воспользуемся свойствами степеней:
$3^{-4} : 9^{-2} = 3^{-4} : (3^2)^{-2} = 3^{-4} : 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4} : 3^{-4}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$3^{-4 - (-4)} = 3^{-4+4} = 3^0 = 1$.
Ответ: $1$

578. Проверьте равенство:

а) $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2;$

б) $(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3;$

в) $(\frac{12}{31})^{-5} = (\frac{31}{12})^5;$

г) $(\frac{5}{3})^4 = (\frac{3}{5})^{-4}.$

Для проверки данных равенств мы будем использовать основное свойство степени с отрицательным показателем для дробей, которое гласит: $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n} $. Это означает, что для возведения дроби в отрицательную степень нужно "перевернуть" дробь (поменять местами числитель и знаменатель) и возвести ее в ту же степень, но с положительным показателем.

а) Проверим равенство $ (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^{2} $.

Преобразуем левую часть равенства, используя указанное выше свойство:

$ (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^{2} $

После преобразования левая часть стала идентична правой части. Следовательно, равенство является верным.

Ответ: равенство верное.

б) Проверим равенство $ (\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^{3} $.

Применим свойство степени с отрицательным показателем к левой части:

$ (\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^{3} $

Так как $ \frac{2}{1} = 2 $, то равенство можно записать как $ 2^3 = 2^3 $, что равно 8. Левая часть после преобразования равна правой части. Значит, равенство верное.

Ответ: равенство верное.

в) Проверим равенство $ (\frac{12}{31})^{-5} = (\frac{31}{12})^{5} $.

Преобразуем левую часть равенства по свойству степени с отрицательным показателем:

$ (\frac{12}{31})^{-5} = (\frac{31}{12})^{5} $

Полученное выражение в левой части полностью совпадает с выражением в правой части. Следовательно, равенство верно.

Ответ: равенство верное.

г) Проверим равенство $ (1\frac{2}{3})^{4} = (\frac{3}{5})^{-4} $.

Для проверки преобразуем обе части равенства к общему виду.

1. Преобразуем левую часть. Переведем смешанное число $ 1\frac{2}{3} $ в неправильную дробь:

$ 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3} $.

Тогда левая часть равенства принимает вид $ (\frac{5}{3})^{4} $.

2. Преобразуем правую часть. Используем свойство степени с отрицательным показателем:

$ (\frac{3}{5})^{-4} = (\frac{5}{3})^{4} $.

3. Теперь сравним преобразованные части: $ (\frac{5}{3})^{4} = (\frac{5}{3})^{4} $. Равенство очевидно верное.

Ответ: равенство верное.

579. Доказываем. Докажите, что для чисел $a \neq 0$, $b \neq 0$, $k$ — целого верно равенство:

$(\frac{a}{b})^{-k} = (\frac{b}{a})^{k}$

Для доказательства равенства необходимо преобразовать его левую часть, используя свойства степени с целым показателем, и показать, что она равна правой части. Условия $a \neq 0$ и $b \neq 0$ гарантируют, что все дроби и основания степеней определены.

Рассмотрим левую часть равенства: $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-k} $.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: для любого ненулевого основания $x$ и целого числа $n$ справедливо $x^{-n} = \left(\frac{1}{x}\right)^n$. В данном случае основанием является дробь $x = \frac{a}{b}$, а показатель равен $-k$. Применим это свойство:$$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-k} = \left(\frac{1}{\frac{a}{b}}\right)^k $$

Теперь упростим выражение в скобках. Величина, обратная дроби $\frac{a}{b}$, есть дробь $\frac{b}{a}$:$$ \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} $$

Подставим полученную упрощенную дробь обратно в наше выражение:$$ \left(\frac{b}{a}\right)^k $$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства в правую:$$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-k} = \left(\frac{b}{a}\right)^k $$Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем последовательного применения свойств степени с целым показателем к левой части выражения.

Сравните (580–581):

580. а) $5^0$ и $(-5)^0$;

б) $5^{-2}$ и $5^2$;

в) $(-2)^3$ и $(-2)^0$;

г) $-3^2$ и $(-3)^2$;

д) $(-2)^4$ и $2^{-4}$;

е) $-2^4$ и $2^{-4}$.

а) Чтобы сравнить числа $5^0$ и $(-5)^0$, воспользуемся свойством степени с нулевым показателем. Согласно этому свойству, любое ненулевое число в степени 0 равно 1.
Вычислим значение первого выражения: $5^0 = 1$.
Вычислим значение второго выражения: $(-5)^0 = 1$.
Сравнивая полученные результаты, видим, что $1 = 1$. Следовательно, $5^0 = (-5)^0$.
Ответ: $5^0 = (-5)^0$.

б) Чтобы сравнить числа $5^{-2}$ и $5^2$, вычислим их значения.
Для первого числа используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Вычислим второе число: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{25}$ и целое число $25$. Очевидно, что положительное число, меньшее единицы, меньше числа, большего единицы: $\frac{1}{25} < 25$.
Следовательно, $5^{-2} < 5^2$.
Ответ: $5^{-2} < 5^2$.

в) Чтобы сравнить числа $(-2)^3$ и $(-2)^0$, вычислим их значения.
Вычислим значение первого выражения. Возведение отрицательного числа в нечетную степень дает отрицательный результат: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
Вычислим значение второго выражения, используя свойство степени с нулевым показателем: $(-2)^0 = 1$.
Сравним полученные значения $-8$ и $1$. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $1 > -8$.
Следовательно, $(-2)^0 > (-2)^3$.
Ответ: $(-2)^3 < (-2)^0$.

г) Чтобы сравнить числа $-3^2$ и $(-3)^2$, необходимо правильно определить порядок действий.
В выражении $-3^2$ операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Поэтому сначала вычисляется $3^2$, а затем применяется знак минуса: $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$.
В выражении $(-3)^2$ в степень возводится число в скобках, то есть $-3$: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$.
Сравним полученные значения $-9$ и $9$. Положительное число всегда больше отрицательного: $9 > -9$.
Следовательно, $(-3)^2 > -3^2$.
Ответ: $-3^2 < (-3)^2$.

д) Чтобы сравнить числа $(-2)^4$ и $2^{-4}$, вычислим их значения.
Вычислим значение первого выражения. Возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный результат: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.
Для второго числа используем свойство степени с отрицательным показателем: $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Сравним полученные значения $16$ и $\frac{1}{16}$. Очевидно, что $16 > \frac{1}{16}$.
Следовательно, $(-2)^4 > 2^{-4}$.
Ответ: $(-2)^4 > 2^{-4}$.

е) Чтобы сравнить числа $-2^4$ и $2^{-4}$, вычислим их значения, учитывая порядок действий.
В выражении $-2^4$ сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минуса: $-2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$.
Вычислим второе число: $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Сравним полученные значения $-16$ и $\frac{1}{16}$. Любое положительное число (в данном случае $\frac{1}{16}$) больше любого отрицательного числа (в данном случае $-16$).
Следовательно, $2^{-4} > -2^4$.
Ответ: $-2^4 < 2^{-4}$.

581. а) $19^{-20}$ и $(\frac{1}{19})^{20}$;

б) $(\frac{2}{3})^5$ и $(\frac{3}{5})^{-5}$;

в) $(\frac{1}{3})^6$ и $3^{-6}$;

г) $1999^{2000}$ и $(\frac{1}{1999})^{-2000}$.

а) Сравним числа $19^{-20}$ и $(\frac{1}{19})^{20}$.
Для решения воспользуемся свойствами степеней. По определению степени с отрицательным показателем, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Применим это свойство к первому числу:
$19^{-20} = \frac{1}{19^{20}}$.
Теперь преобразуем второе число, используя свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{1}{19})^{20} = \frac{1^{20}}{19^{20}} = \frac{1}{19^{20}}$.
Так как оба выражения равны одному и тому же числу $\frac{1}{19^{20}}$, то они равны между собой.
Ответ: $19^{-20} = (\frac{1}{19})^{20}$.

б) Сравним $(\frac{2}{3})^5$ и $(\frac{3}{5})^{-5}$.
Преобразуем второе выражение, используя свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{3}{5})^{-5} = (\frac{5}{3})^5$.
Теперь задача сводится к сравнению чисел $(\frac{2}{3})^5$ и $(\frac{5}{3})^5$.
Так как показатели степени (5) одинаковы и положительны, то сравнение степеней можно свести к сравнению их оснований: $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{3}$.
Поскольку $2 < 5$, то и $\frac{2}{3} < \frac{5}{3}$.
Следовательно, $(\frac{2}{3})^5 < (\frac{5}{3})^5$, а это значит, что $(\frac{2}{3})^5 < (\frac{3}{5})^{-5}$.
Ответ: $(\frac{2}{3})^5 < (\frac{3}{5})^{-5}$.

в) Сравним $(\frac{1}{3})^6$ и $3^{-6}$.
Преобразуем первое выражение, используя свойство возведения дроби в степень $(\frac{1}{a})^n = \frac{1}{a^n}$:
$(\frac{1}{3})^6 = \frac{1^6}{3^6} = \frac{1}{3^6}$.
Преобразуем второе выражение, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-6} = \frac{1}{3^6}$.
Оба выражения равны $\frac{1}{3^6}$, следовательно, они равны между собой.
Ответ: $(\frac{1}{3})^6 = 3^{-6}$.

г) Сравним $1999^{2000}$ и $(\frac{1}{1999})^{-2000}$.
Преобразуем второе выражение, используя свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1}{1999})^{-2000} = (\frac{1999}{1})^{2000} = 1999^{2000}$.
После преобразования мы видим, что второе выражение равно первому.
Ответ: $1999^{2000} = (\frac{1}{1999})^{-2000}$.

582. Сравните с нулём:

а) $2^{-3}$;

б) $(-2)^3$;

в) $(-2)^{-3}$;

г) $-2^3$;

д) $2^{-4}$;

е) $(-2)^4$;

ж) $(-2)^{-4}$;

з) $-2^4$.

а) Чтобы сравнить $2^{-3}$ с нулём, необходимо преобразовать выражение. Степень с отрицательным показателем определяется как обратная величина степени с положительным показателем: $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$. Вычисляем знаменатель: $2^3 = 8$. Таким образом, $2^{-3} = \frac{1}{8}$. Полученное число $\frac{1}{8}$ является положительным, следовательно, оно больше нуля.
Ответ: $2^{-3} > 0$.

б) Чтобы сравнить $(-2)^3$ с нулём, нужно возвести отрицательное число в степень. Так как показатель степени (3) является нечётным числом, результат будет отрицательным: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$. Число $-8$ меньше нуля.
Ответ: $(-2)^3 < 0$.

в) Чтобы сравнить $(-2)^{-3}$ с нулём, преобразуем выражение: $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3}$. Знаменатель дроби, как мы выяснили в предыдущем пункте, равен $-8$. Таким образом, $(-2)^{-3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$. Полученное число $-\frac{1}{8}$ является отрицательным, следовательно, оно меньше нуля.
Ответ: $(-2)^{-3} < 0$.

г) Чтобы сравнить $-2^3$ с нулём, важно учесть порядок операций. Сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется унарный минус. То есть, мы вычисляем $-(2^3)$. $2^3 = 8$, значит $-2^3 = -8$. Число $-8$ меньше нуля.
Ответ: $-2^3 < 0$.

д) Чтобы сравнить $2^{-4}$ с нулём, преобразуем степень с отрицательным показателем: $2^{-4} = \frac{1}{2^4}$. Вычисляем знаменатель: $2^4 = 16$. Таким образом, $2^{-4} = \frac{1}{16}$. Полученное число $\frac{1}{16}$ является положительным, следовательно, оно больше нуля.
Ответ: $2^{-4} > 0$.

е) Чтобы сравнить $(-2)^4$ с нулём, нужно возвести отрицательное число в степень. Так как показатель степени (4) является чётным числом, результат будет положительным: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$. Число $16$ больше нуля.
Ответ: $(-2)^4 > 0$.

ж) Чтобы сравнить $(-2)^{-4}$ с нулём, преобразуем выражение: $(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4}$. Знаменатель дроби, как мы выяснили в предыдущем пункте, равен $16$. Таким образом, $(-2)^{-4} = \frac{1}{16}$. Полученное число $\frac{1}{16}$ является положительным, следовательно, оно больше нуля.
Ответ: $(-2)^{-4} > 0$.

з) Чтобы сравнить $-2^4$ с нулём, сначала возводим число 2 в степень 4, а затем применяем знак минус: $-(2^4)$. $2^4 = 16$, значит $-2^4 = -16$. Число $-16$ меньше нуля.
Ответ: $-2^4 < 0$.

Запишите в виде степени с целым показателем, если $a \ne 0$ (583—584):

583. а) $a^3 \cdot a^4;$

б) $a^4 \cdot a;$

в) $a^{13} : a^6;$

г) $a^{12} : a;$

д) $(a^4)^6;$

е) $(a^2)^5;$

ж) $a^7 \cdot b^7;$

з) $a^4 \cdot b^4.$

а) Для того чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней сложить. Это следует из свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Применяя это правило, получаем:
$a^3 \cdot a^4 = a^{3+4} = a^7$.
Ответ: $a^7$.

б) Любое число или переменная без указания показателя степени считается в первой степени, то есть $a = a^1$. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Таким образом:
$a^4 \cdot a = a^4 \cdot a^1 = a^{4+1} = a^5$.
Ответ: $a^5$.

в) При делении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Это свойство записывается как $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Применяем это свойство:
$a^{13} : a^6 = a^{13-6} = a^7$.
Ответ: $a^7$.

г) Учитывая, что $a = a^1$, и используя правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем:
$a^{12} : a = a^{12} : a^1 = a^{12-1} = a^{11}$.
Ответ: $a^{11}$.

д) При возведении степени в степень, основание остается тем же, а показатели степеней перемножаются. Формула этого свойства: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Следуя этому правилу:
$(a^4)^6 = a^{4 \cdot 6} = a^{24}$.
Ответ: $a^{24}$.

е) Используем то же правило возведения степени в степень, что и в предыдущем пункте: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В данном случае:
$(a^2)^5 = a^{2 \cdot 5} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

ж) Для умножения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить прежним. Это свойство выражается формулой $x^n \cdot y^n = (xy)^n$.
Применяя это правило:
$a^7 \cdot b^7 = (ab)^7$.
Ответ: $(ab)^7$.

з) Аналогично предыдущему пункту, используем правило умножения степеней с одинаковыми показателями $x^n \cdot y^n = (xy)^n$.
Получаем:
$a^4 \cdot b^4 = (ab)^4$.
Ответ: $(ab)^4$.

584. а) $a^5 : a^6;$

б) $a^7 : a^6;$

В) $a^4 : a;`

Г) $a^{12} : a^{12};$

Д) $a^{-4} : a^6;$

е) $a^4 : a^{-5};$

Ж) $a^{-11} : a^{-8};$

З) $a^{-4} : a;$

И) $a^6 : a^5;$

К) $a^9 : a^0;$

Л) $a^{-3} : a^0;$

М) $a^0 : a^{-8}.$

Для решения всех представленных задач используется основное свойство степени при делении: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Это свойство выражается формулой: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (где $a \ne 0$). Также следует помнить, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$), а любое число без указания степени равно этому числу в первой степени ($a = a^1$).

а) Применяем правило вычитания показателей степеней: из показателя делимого (5) вычитаем показатель делителя (6).
$a^5 : a^6 = a^{5-6} = a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1}$.

б) Используем то же правило деления степеней с одинаковым основанием.
$a^7 : a^6 = a^{7-6} = a^1 = a$.
Ответ: $a$.

в) Сначала представим делитель $a$ в виде степени: $a = a^1$. Затем применяем правило деления.
$a^4 : a = a^4 : a^1 = a^{4-1} = a^3$.
Ответ: $a^3$.

г) При делении числа самого на себя (при условии, что оно не равно нулю) результат всегда равен 1. Применим правило вычитания показателей.
$a^{12} : a^{12} = a^{12-12} = a^0$.
По определению, $a^0 = 1$ (для $a \ne 0$).
Ответ: $1$.

д) Вычитаем из показателя делимого (-4) показатель делителя (6).
$a^{-4} : a^6 = a^{-4-6} = a^{-10}$.
Ответ: $a^{-10}$.

е) Вычитаем из показателя делимого (4) показатель делителя (-5). Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению.
$a^4 : a^{-5} = a^{4 - (-5)} = a^{4+5} = a^9$.
Ответ: $a^9$.

ж) Вычитаем из показателя делимого (-11) показатель делителя (-8).
$a^{-11} : a^{-8} = a^{-11 - (-8)} = a^{-11+8} = a^{-3}$.
Ответ: $a^{-3}$.

з) Представляем делитель $a$ как $a^1$ и применяем правило деления.
$a^{-4} : a = a^{-4} : a^1 = a^{-4-1} = a^{-5}$.
Ответ: $a^{-5}$.

и) Применяем правило вычитания показателей степеней.
$a^6 : a^5 = a^{6-5} = a^1 = a$.
Ответ: $a$.

к) Учитывая, что $a^0 = 1$, деление на $a^0$ равносильно делению на 1, что не изменяет исходное число. Также можно применить общее правило.
$a^9 : a^0 = a^{9-0} = a^9$.
Ответ: $a^9$.

л) Аналогично предыдущему пункту, делим на $a^0=1$.
$a^{-3} : a^0 = a^{-3-0} = a^{-3}$.
Ответ: $a^{-3}$.

м) Делимое $a^0$ равно 1. Применяем общее правило вычитания показателей.
$a^0 : a^{-8} = a^{0 - (-8)} = a^{0+8} = a^8$.
Ответ: $a^8$.