Номер 575, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.1. Понятие степени с целым показателем. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 575, страница 151.

Условие.

Вычислите (575–577):

575. а) $10^4$; $10^3$; $10^2$; $10^1$; $10^0$; $10^{-1}$; $10^{-2}$; $10^{-3}$; $10^{-4}$;

б) $2^5$; $2^4$; $2^3$; $2^2$; $2^1$; $2^0$; $2^{-1}$; $2^{-2}$; $2^{-3}$; $2^{-4}$; $2^{-5}$;

в) $(-3)^3$; $(-3)^2$; $(-3)^1$; $(-3)^0$; $(-3)^{-1}$; $(-3)^{-2}$; $(-3)^{-3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Для вычисления степеней воспользуемся следующими правилами определения степени с целым показателем:
1. Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ — это произведение $n$ множителей, равных $a$: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ ($n$ раз).
2. Степень любого ненулевого числа $a$ с нулевым показателем равна единице: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).
3. Степень числа $a$ с целым отрицательным показателем $-n$ определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$).

Выполним вычисления для основания $10$:
$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$
$10^1 = 10$
$10^0 = 1$
$10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0,1$
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$
$10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0,0001$

Ответ: $10000$; $1000$; $100$; $10$; $1$; $0,1$; $0,01$; $0,001$; $0,0001$.

б)

Используя те же правила, что и в пункте а), вычислим степени числа 2:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$
$2^1 = 2$
$2^0 = 1$
$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

Ответ: $32$; $16$; $8$; $4$; $2$; $1$; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{32}$.

в)

При возведении отрицательного числа в степень, знак результата зависит от четности показателя:
• Если показатель степени — четное число, результат будет положительным. Например, $(-a)^{2k} = a^{2k}$.
• Если показатель степени — нечетное число, результат будет отрицательным. Например, $(-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}$.

Выполним вычисления для основания $-3$:
$(-3)^3 = -(3^3) = -27$ (показатель 3 — нечетный)
$(-3)^2 = 3^2 = 9$ (показатель 2 — четный)
$(-3)^1 = -3$ (показатель 1 — нечетный)
$(-3)^0 = 1$
$(-3)^{-1} = \frac{1}{(-3)^1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
$(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$ (знаменатель возводится в четную степень 2)
$(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$ (знаменатель возводится в нечетную степень 3)

Ответ: $-27$; $9$; $-3$; $1$; $-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; $-\frac{1}{27}$.