Номер 569, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 569, страница 147.

Условие.

569. a) $\frac{a^2 + b^2}{ab} \cdot \left( \frac{6a + b}{a^2 - b^2} : \frac{6a^3 + b^3 + a^2b + 6ab^2}{2ab^2 - 2a^2b} + \frac{a + b}{a^2 + b^2} \right) = \frac{a^2 + b^2}{ab(a + b)}$

б) $\left( \frac{x}{xy + y^2} - \frac{x^2 + y^2}{x^3 - xy^2} + \frac{y}{x^2 - xy} \right) : \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^3 + y^3} = \frac{x^2 - xy + y^2}{y(x - y)}$

В) $\left( \frac{2x^2y + 2xy^2}{7x^3 + x^2y + 7xy^2 + y^3} \cdot \frac{7x + y}{x^2 - y^2} + \frac{x - y}{x^2 + y^2} \right) \cdot (x^2 - y^2) = x + y$

Г) $\left( \frac{5}{a^2 - 2a - ax + 2x} - \frac{1}{8 - 8a + 2a^2} \cdot \frac{20 - 10a}{x - 2} \right) : \frac{25}{x^3 - 8} = \frac{x^2 + 2x + 4}{5(a - x)}$

Д) $\left( \frac{3a}{9 - 3x - 3a + ax} - \frac{1}{a^2 - 9} : \frac{x - a}{3a^2 + 9a} \right) \cdot \frac{x^3 - 27}{3a} = \frac{x^2 + 3x + 9}{a - x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Упростим выражение. Сначала выполним действия в скобках. Рассмотрим деление дробей:
$ \frac{6a+b}{a^2-b^2} : \frac{6a^3+b^3+a^2b+6ab^2}{2ab^2-2a^2b} $
Разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби:
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
$2ab^2-2a^2b = -2ab(a-b)$
$6a^3+b^3+a^2b+6ab^2 = (6a^3+a^2b) + (6ab^2+b^3) = a^2(6a+b) + b^2(6a+b) = (a^2+b^2)(6a+b)$
Подставим разложенные выражения и заменим деление на умножение:
$ \frac{6a+b}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{-2ab(a-b)}{(a^2+b^2)(6a+b)} = \frac{-2ab}{(a+b)(a^2+b^2)} $
Теперь выполним сложение в скобках:
$ \frac{-2ab}{(a+b)(a^2+b^2)} + \frac{a+b}{a^2+b^2} = \frac{-2ab+(a+b)^2}{(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{-2ab+a^2+2ab+b^2}{(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{a^2+b^2}{(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{1}{a+b} $
Наконец, выполним умножение:
$ \frac{a^2+b^2}{ab} \cdot \frac{1}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} $
Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} $.

б) Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:
$xy+y^2 = y(x+y)$
$x^3-xy^2 = x(x^2-y^2) = x(x-y)(x+y)$
$x^2-xy = x(x-y)$
Общий знаменатель: $xy(x-y)(x+y)$.
$ \frac{x}{y(x+y)} - \frac{x^2+y^2}{x(x-y)(x+y)} + \frac{y}{x(x-y)} = \frac{x \cdot x(x-y) - (x^2+y^2) \cdot y + y \cdot y(x+y)}{xy(x-y)(x+y)} = $
$ = \frac{x^3-x^2y - x^2y-y^3 + xy^2+y^3}{xy(x-y)(x+y)} = \frac{x^3-2x^2y+xy^2}{xy(x-y)(x+y)} $
Вынесем общий множитель в числителе:
$ \frac{x(x^2-2xy+y^2)}{xy(x-y)(x+y)} = \frac{x(x-y)^2}{xy(x-y)(x+y)} = \frac{x-y}{y(x+y)} $
Теперь выполним деление:
$ \frac{x-y}{y(x+y)} : \frac{x^2-2xy+y^2}{x^3+y^3} $
Разложим на множители делитель: $x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$ и $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
$ \frac{x-y}{y(x+y)} \cdot \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x-y)^2} = \frac{x^2-xy+y^2}{y(x-y)} $
Ответ: $ \frac{x^2-xy+y^2}{y(x-y)} $.

в) Сначала выполним умножение в скобках:
$ \frac{2x^2y+2xy^2}{7x^3+x^2y+7xy^2+y^3} \cdot \frac{7x+y}{x^2-y^2} $
Разложим на множители числители и знаменатели:
$2x^2y+2xy^2 = 2xy(x+y)$
$7x^3+x^2y+7xy^2+y^3 = 7x(x^2+y^2)+y(x^2+y^2) = (7x+y)(x^2+y^2)$
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$
$ \frac{2xy(x+y)}{(7x+y)(x^2+y^2)} \cdot \frac{7x+y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2xy}{(x^2+y^2)(x-y)} $
Теперь выполним сложение в скобках:
$ \frac{2xy}{(x^2+y^2)(x-y)} + \frac{x-y}{x^2+y^2} = \frac{2xy+(x-y)^2}{(x^2+y^2)(x-y)} = \frac{2xy+x^2-2xy+y^2}{(x^2+y^2)(x-y)} = \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)(x-y)} = \frac{1}{x-y} $
Наконец, умножим результат на $(x^2-y^2)$:
$ \frac{1}{x-y} \cdot (x^2-y^2) = \frac{1}{x-y} \cdot (x-y)(x+y) = x+y $
Ответ: $ x+y $.

г) Сначала выполним умножение в скобках:
$ \frac{1}{8-8a+2a^2} \cdot \frac{20-10a}{x-2} $
Разложим на множители:
$8-8a+2a^2 = 2(4-4a+a^2) = 2(a-2)^2$
$20-10a = 10(2-a) = -10(a-2)$
$ \frac{1}{2(a-2)^2} \cdot \frac{-10(a-2)}{x-2} = \frac{-5}{(a-2)(x-2)} $
Теперь разложим знаменатель первой дроби в скобках:
$a^2-2a-ax+2x = a(a-2)-x(a-2) = (a-2)(a-x)$
Выполним вычитание в скобках:
$ \frac{5}{(a-2)(a-x)} - \frac{-5}{(a-2)(x-2)} = \frac{5}{(a-2)(a-x)} + \frac{5}{(a-2)(x-2)} = \frac{5(x-2)+5(a-x)}{(a-2)(a-x)(x-2)} = \frac{5x-10+5a-5x}{(a-2)(a-x)(x-2)} = \frac{5(a-2)}{(a-2)(a-x)(x-2)} = \frac{5}{(a-x)(x-2)} $
Теперь выполним деление:
$ \frac{5}{(a-x)(x-2)} : \frac{25}{x^3-8} $
Разложим $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$.
$ \frac{5}{(a-x)(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{25} = \frac{x^2+2x+4}{5(a-x)} $
Ответ: $ \frac{x^2+2x+4}{5(a-x)} $.

д) Сначала выполним деление в скобках:
$ \frac{1}{a^2-9} : \frac{x-a}{3a^2+9a} = \frac{1}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{3a(a+3)}{x-a} = \frac{3a}{(a-3)(x-a)} $
Теперь разложим знаменатель первой дроби в скобках:
$9-3x-3a+ax = 3(3-x)-a(3-x) = (3-a)(3-x) = -(a-3)(-(x-3)) = (a-3)(x-3)$
Выполним вычитание в скобках:
$ \frac{3a}{(a-3)(x-3)} - \frac{3a}{(a-3)(x-a)} = \frac{3a(x-a)-3a(x-3)}{(a-3)(x-3)(x-a)} = \frac{3ax-3a^2-3ax+9a}{(a-3)(x-3)(x-a)} = \frac{9a-3a^2}{(a-3)(x-3)(x-a)} $
Вынесем множитель в числителе: $9a-3a^2=3a(3-a)=-3a(a-3)$.
$ \frac{-3a(a-3)}{(a-3)(x-3)(x-a)} = \frac{-3a}{(x-3)(x-a)} $
Наконец, выполним умножение:
$ \frac{-3a}{(x-3)(x-a)} \cdot \frac{x^3-27}{3a} $
Разложим $x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9)$.
$ \frac{-3a}{(x-3)(x-a)} \cdot \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{3a} = \frac{-(x^2+3x+9)}{x-a} = \frac{x^2+3x+9}{a-x} $
Ответ: $ \frac{x^2+3x+9}{a-x} $.