Номер 615, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 615, страница 160.

Условие.

615. Упростите выражение:

а) $\frac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} + b^{-1}}$;

б) $\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-1} + b^{-1}}$;

в) $\frac{a^{-3} - b^{-3}}{a^{-1} - b^{-1}}$;

г) $\frac{a^{-4} - b^{-4}}{a^{-2} + b^{-2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Упростим выражение $\frac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} + b^{-1}}$.

Сделаем замену переменных: пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда $x^2 = (a^{-1})^2 = a^{-2}$ и $y^2 = (b^{-1})^2 = b^{-2}$.

Подставив новые переменные, выражение примет вид:

$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ для числителя:

$\frac{(x - y)(x + y)}{x + y}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$x - y$

Выполним обратную замену:

$a^{-1} - b^{-1}$

Запишем результат в виде обыкновенной дроби, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$

Ответ: $\frac{b-a}{ab}$.

б) Упростим выражение $\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-1} + b^{-1}}$.

Сделаем замену переменных: пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда $x^3 = (a^{-1})^3 = a^{-3}$ и $y^3 = (b^{-1})^3 = b^{-3}$.

Подставив новые переменные, выражение примет вид:

$\frac{x^3 + y^3}{x + y}$

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ для числителя:

$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x + y}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$x^2 - xy + y^2$

Выполним обратную замену:

$(a^{-1})^2 - (a^{-1})(b^{-1}) + (b^{-1})^2 = a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$

Запишем результат в виде обыкновенной дроби:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{ab} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{ab}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{a^2 - ab + b^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2b^2}$.

в) Упростим выражение $\frac{a^{-3} - b^{-3}}{a^{-1} - b^{-1}}$.

Сделаем замену переменных: пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда $x^3 = a^{-3}$ и $y^3 = b^{-3}$.

Подставив новые переменные, выражение примет вид:

$\frac{x^3 - y^3}{x - y}$

Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ для числителя:

$\frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x - y}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x-y)$ (при условии, что $x-y \neq 0$):

$x^2 + xy + y^2$

Выполним обратную замену:

$(a^{-1})^2 + (a^{-1})(b^{-1}) + (b^{-1})^2 = a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$

Запишем результат в виде обыкновенной дроби:

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{ab}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2}$.

г) Упростим выражение $\frac{a^{-4} - b^{-4}}{a^{-2} + b^{-2}}$.

Сделаем замену переменных: пусть $x = a^{-2}$ и $y = b^{-2}$. Тогда $x^2 = (a^{-2})^2 = a^{-4}$ и $y^2 = (b^{-2})^2 = b^{-4}$.

Подставив новые переменные, выражение примет вид:

$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ для числителя:

$\frac{(x - y)(x + y)}{x + y}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$x - y$

Выполним обратную замену:

$a^{-2} - b^{-2}$

Запишем результат в виде обыкновенной дроби:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$.