Номер 622, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость многочленов. Дополнения к главе 2. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 622, страница 167.

Условие.

622. Доказываем. Докажите формулу разложения на множители для:

а) $a^5 - b^5$;

б) $a^6 - b^6$;

в) $a^5 + b^5$;

г) $a^7 + b^7$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Чтобы доказать формулу разложения для $a^5 - b^5$, мы должны показать, что $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$. Для этого раскроем скобки в правой части равенства, умножив $(a-b)$ на $(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$: $ (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) - b(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = (a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4) - (a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5) $. Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые: $ a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 - a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 - b^5 = a^5 + (a^4b - a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (a^2b^3 - a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) - b^5 = a^5 - b^5 $. Мы получили исходное выражение $a^5 - b^5$, следовательно, формула верна. Ответ: $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$.

б) Для разложения выражения $a^6 - b^6$ представим его как разность квадратов $ (a^3)^2 - (b^3)^2 $. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^3$ и $y = b^3$: $ a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) $. Теперь применим известные формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $ (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2) $. Таким образом, мы разложили $a^6 - b^6$ на множители. Для доказательства достаточно убедиться, что произведение множителей равно исходному выражению. Мы уже показали, что $ (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = a^6 - b^6 $ путем раскрытия скобок: $ (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = a^3 \cdot a^3 + a^3 \cdot b^3 - b^3 \cdot a^3 - b^3 \cdot b^3 = a^6 + a^3b^3 - a^3b^3 - b^6 = a^6 - b^6 $. Формула доказана. Ответ: $a^6 - b^6 = (a - b)(a + b)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$.

в) Чтобы доказать формулу разложения для $a^5 + b^5$, мы должны показать, что $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$. Для этого раскроем скобки в правой части равенства: $ (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) + b(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = (a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4) + (a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5) $. Приведем подобные слагаемые, которые попарно уничтожаются: $ a^5 - a^4b + a^4b + a^3b^2 - a^3b^2 - a^2b^3 + a^2b^3 + ab^4 - ab^4 + b^5 = a^5 + (-a^4b + a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (-a^2b^3 + a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) + b^5 = a^5 + b^5 $. Мы получили исходное выражение $a^5 + b^5$, следовательно, формула верна. Ответ: $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.

г) Чтобы доказать формулу разложения для $a^7 + b^7$, мы должны показать, что $a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)$. Для этого раскроем скобки в правой части равенства: $ (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6) = a(a^6 - a^5b + \dots + b^6) + b(a^6 - a^5b + \dots + b^6) = (a^7 - a^6b + a^5b^2 - a^4b^3 + a^3b^4 - a^2b^5 + ab^6) + (a^6b - a^5b^2 + a^4b^3 - a^3b^4 + a^2b^5 - ab^6 + b^7) $. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, видим, что они взаимно уничтожаются: $ a^7 - a^6b + a^5b^2 - a^4b^3 + a^3b^4 - a^2b^5 + ab^6 + a^6b - a^5b^2 + a^4b^3 - a^3b^4 + a^2b^5 - ab^6 + b^7 = a^7 + (-a^6b + a^6b) + (a^5b^2 - a^5b^2) + \dots + (ab^6 - ab^6) + b^7 = a^7 + b^7 $. Мы получили исходное выражение $a^7 + b^7$, следовательно, формула верна. Ответ: $a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)$.