Номер 624, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость многочленов. Дополнения к главе 2. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 624, страница 167.

Условие.

624. Сократима ли дробь:

а) $ \frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}} $;

б) $ \frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Рассмотрим дробь $\frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}}$. Чтобы определить, является ли дробь сократимой, необходимо выяснить, имеют ли ее числитель и знаменатель общий делитель, отличный от единицы.

Воспользуемся известной формулой для суммы нечетных степеней: $x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 - \dots + y^{n-1})$. Эта формула верна для любого нечетного натурального числа $n$.

В числителе данной дроби показатель степени равен 1999, а в знаменателе — 1997. Оба этих числа являются нечетными. Следовательно, мы можем применить указанную формулу и к числителю, и к знаменателю.

Для числителя ($n=1999$):

$a^{1999} + b^{1999} = (a+b)(a^{1998} - a^{1997}b + \dots + b^{1998})$

Для знаменателя ($n=1997$):

$a^{1997} + b^{1997} = (a+b)(a^{1996} - a^{1995}b + \dots + b^{1996})$

Из этих разложений видно, что и числитель, и знаменатель имеют общий множитель $(a+b)$. Это означает, что дробь можно сократить на $(a+b)$ (при условии, что $a+b \neq \pm 1$ и знаменатель не обращается в ноль).

Ответ: Да, дробь сократима, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель $(a+b)$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1}$. Для проверки ее на сократимость найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.

Применим алгоритм Евклида для многочленов. Разделим числитель $a^{1999} - 1$ на знаменатель $a^{1998} - 1$ с остатком:

$a^{1999} - 1 = a \cdot (a^{1998} - 1) + a - 1$

Согласно алгоритму Евклида, НОД исходных многочленов равен НОД делителя и остатка от деления:

$\text{НОД}(a^{1999} - 1, a^{1998} - 1) = \text{НОД}(a^{1998} - 1, a - 1)$

Теперь необходимо проверить, делится ли многочлен $a^{1998} - 1$ на $a - 1$. Воспользуемся формулой разности степеней: $x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)$, которая верна для любого натурального $n$.

Применив эту формулу для $n=1998$, мы видим, что $a^{1998} - 1$ делится на $a-1$ без остатка:

$a^{1998} - 1 = (a-1)(a^{1997} + a^{1996} + \dots + a + 1)$

Следовательно, наибольший общий делитель многочленов $a^{1998} - 1$ и $a - 1$ есть $a-1$.

Таким образом, НОД числителя и знаменателя исходной дроби равен $a-1$. Наличие общего делителя (отличного от 1, если $a \ne 2$ и $a \ne 0$) означает, что дробь является сократимой.

Ответ: Да, дробь сократима, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель $(a-1)$.