Номер 631, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

2. Исторические сведения. Дополнения к главе 2. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 631, страница 170.

Условие.

631. Исследуем.

а) С помощью треугольника Паскаля запишите в стандартном виде шестую и седьмую степень двучлена $(a + b)$.

б) Убедитесь, что сумма чисел $n$-й строки треугольника Паскаля равна $2^n$. Выполните проверку от $n = 1$ до $n = 10$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Для нахождения коэффициентов в разложении двучлена $(a+b)$ в степень $n$ используется треугольник Паскаля. Каждое число в треугольнике равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Крайние числа в каждой строке равны 1. Номер строки $n$ (начиная с $n=0$) соответствует степени двучлена.

Построим треугольник Паскаля до 7-й строки включительно:
$n=0$: 1
$n=1$: 1 1
$n=2$: 1 2 1
$n=3$: 1 3 3 1
$n=4$: 1 4 6 4 1
$n=5$: 1 5 10 10 5 1
$n=6$: 1 6 15 20 15 6 1
$n=7$: 1 7 21 35 35 21 7 1

Используя коэффициенты из строки $n=6$, запишем разложение для $(a+b)^6$:

$(a+b)^6 = 1 \cdot a^6b^0 + 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 + 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 + 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot a^0b^6$

В стандартном виде это выглядит так:

$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

Используя коэффициенты из строки $n=7$, запишем разложение для $(a+b)^7$:

$(a+b)^7 = 1 \cdot a^7b^0 + 7 \cdot a^6b^1 + 21 \cdot a^5b^2 + 35 \cdot a^4b^3 + 35 \cdot a^3b^4 + 21 \cdot a^2b^5 + 7 \cdot a^1b^6 + 1 \cdot a^0b^7$

В стандартном виде это выглядит так:

$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

Ответ: $(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$;
$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$.

б) Свойство, согласно которому сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля равна $2^n$, следует из формулы бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$

Коэффициенты $C_n^k$ и есть числа, стоящие в $n$-й строке треугольника Паскаля. Если в этой формуле положить $x=1$ и $y=1$, то получим:

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (1)^k$

$2^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$

Это доказывает, что сумма всех чисел в $n$-й строке (то есть сумма всех биномиальных коэффициентов для данной степени $n$) равна $2^n$.

Выполним проверку для $n$ от 1 до 10. Для этого нам понадобятся строки треугольника Паскаля до 10-й.

Проверка:
Для $n=1$: $1+1=2=2^1$
Для $n=2$: $1+2+1=4=2^2$
Для $n=3$: $1+3+3+1=8=2^3$
Для $n=4$: $1+4+6+4+1=16=2^4$
Для $n=5$: $1+5+10+10+5+1=32=2^5$
Для $n=6$: $1+6+15+20+15+6+1=64=2^6$
Для $n=7$: $1+7+21+35+35+21+7+1=128=2^7$
Для $n=8$ (строка 1 8 28 56 70 56 28 8 1): $1+8+28+56+70+56+28+8+1=256=2^8$
Для $n=9$ (строка 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1): $1+9+36+84+126+126+84+36+9+1=512=2^9$
Для $n=10$ (строка 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1): $1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=1024=2^{10}$

Ответ: Проверка для $n$ от 1 до 10 подтверждает, что сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля равна $2^n$.