Номер 628, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость многочленов. Дополнения к главе 2. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 628, страница 167.

Условие.

628. Доказываем. Докажите, что дробь несократима:

а) $ \frac{x^4+1}{x^3+1} $;

б) $ \frac{x^3+9}{x^2-1} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Чтобы доказать, что дробь $ \frac{x^4+1}{x^3+1} $ несократима, необходимо показать, что числитель $ P(x) = x^4+1 $ и знаменатель $ Q(x) = x^3+1 $ не имеют общих множителей, кроме константы. Это эквивалентно тому, что их наибольший общий делитель (НОД) является константой. Для нахождения НОД многочленов воспользуемся алгоритмом Евклида.

1. Разделим многочлен $ x^4+1 $ на $ x^3+1 $ с остатком. Для этого можно выполнить деление столбиком или преобразовать выражение:

$ x^4+1 = x^4 + x - x + 1 = x(x^3+1) - x + 1 $

Остаток от деления $ r_1(x) = -x+1 $.

2. Теперь разделим предыдущий делитель $ Q(x) = x^3+1 $ на полученный остаток $ r_1(x) = -x+1 $. Деление на $ -x+1 $ эквивалентно (с точностью до знака) делению на $ x-1 $.

По теореме Безу, остаток от деления многочлена $ x^3+1 $ на двучлен $ x-1 $ равен значению этого многочлена при $ x=1 $:

$ 1^3+1 = 2 $.

Таким образом, остаток от деления равен 2. Выполним деление, чтобы убедиться:

$ x^3+1 = (x^3-1)+2 = (x-1)(x^2+x+1) + 2 $

Остаток от деления $ r_2(x) = 2 $.

3. Поскольку последний ненулевой остаток является константой (число 2), это означает, что многочлены $ x^4+1 $ и $ x^3+1 $ являются взаимно простыми. У них нет общих полиномиальных множителей.

Следовательно, данная дробь несократима.

Ответ: Дробь несократима, что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать, что дробь $ \frac{x^3+9}{x^2-1} $ несократима, нужно показать, что числитель $ P(x) = x^3+9 $ и знаменатель $ Q(x) = x^2-1 $ не имеют общих множителей. Дробь можно было бы сократить, если бы у числителя и знаменателя был общий корень.

1. Найдем корни знаменателя $ Q(x) = x^2-1 $.

$ x^2-1 = 0 $

$ (x-1)(x+1) = 0 $

Корнями знаменателя являются $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -1 $.

2. Проверим, являются ли эти числа корнями числителя $ P(x) = x^3+9 $. Если да, то дробь сократима, если нет — несократима.

Подставим $ x=1 $ в числитель:

$ P(1) = 1^3 + 9 = 1+9 = 10 $.

Поскольку $ P(1) \neq 0 $, то $ (x-1) $ не является множителем числителя.

Подставим $ x=-1 $ в числитель:

$ P(-1) = (-1)^3 + 9 = -1+9 = 8 $.

Поскольку $ P(-1) \neq 0 $, то $ (x+1) $ не является множителем числителя.

3. Ни один из корней знаменателя не обращает числитель в ноль. Это означает, что многочлены $ x^3+9 $ и $ x^2-1 $ не имеют общих корней, а значит и общих множителей.

Следовательно, данная дробь несократима.

Ответ: Дробь несократима, что и требовалось доказать.