Номер 626, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость многочленов. Дополнения к главе 2. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 626, страница 167.

Условие.

626. Найдите НОД (A, B), если:

а) $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$, $B = x^3 - 2x^2 + 1$;

б) $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$, $B = x^3 - 1$;

в) $A = x^5 - x^4 - x^3 + 2x^2 - x$, $B = x^5 - x^4 + x^3 - x$;

г) $A = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x$, $B = x^2 - 4x + 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Даны многочлены $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$ и $B = x^3 - 2x^2 + 1$. Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) воспользуемся алгоритмом Евклида. Поскольку старшие степени многочленов равны, на первом шаге вычтем один многочлен из другого: $A - B = (x^3 - 2x^2 + 2x - 1) - (x^3 - 2x^2 + 1) = 2x - 2 = 2(x - 1)$. Согласно алгоритму Евклида, $НОД(A, B) = НОД(B, A - B)$. Таким образом, задача сводится к нахождению $НОД(x^3 - 2x^2 + 1, 2(x - 1))$. Константный множитель 2 не влияет на НОД, поэтому мы можем его опустить и найти $НОД(x^3 - 2x^2 + 1, x - 1)$. Для этого проверим, делится ли многочлен $B$ на $x - 1$. Подставим корень двучлена $x - 1$, то есть $x=1$, в многочлен $B$: $B(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$. Поскольку $B(1) = 0$, многочлен $B$ делится на $x - 1$ без остатка. Так как $x - 1$ (с точностью до постоянного множителя) является остатком от деления $A$ на $B$, и при этом сам $B$ делится на $x - 1$, то $x-1$ и является их наибольшим общим делителем. Ответ: $x - 1$.

б) Даны многочлены $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$ и $B = x^3 - 1$. В этом случае удобно найти НОД, разложив оба многочлена на множители. Для многочлена $A$ можно заметить, что $x=1$ является его корнем, так как $A(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2(1) - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0$. Выполнив деление $A$ на $x-1$, получим: $A = (x-1)(x^2 - x + 1)$. Многочлен $B$ представляет собой разность кубов, которая раскладывается по известной формуле: $B = x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x + 1)$. Сравнивая полученные разложения для $A$ и $B$: $A = (x-1)(x^2 - x + 1)$ $B = (x-1)(x^2 + x + 1)$ Видно, что единственным общим множителем является $x-1$. Следовательно, это и есть их наибольший общий делитель. Ответ: $x - 1$.

в) Даны многочлены $A = x^5 - x^4 - x^3 + 2x^2 - x$ и $B = x^5 - x^4 + x^3 - x$. В обоих многочленах можно вынести за скобки общий множитель $x$: $A = x(x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 1)$ $B = x(x^4 - x^3 + x^2 - 1)$ Следовательно, $НОД(A, B) = x \cdot НОД(x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 1, x^4 - x^3 + x^2 - 1)$. Обозначим $A' = x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 1$ и $B' = x^4 - x^3 + x^2 - 1$ и применим к ним алгоритм Евклида: $B' - A' = (x^4 - x^3 + x^2 - 1) - (x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 1) = 2x^2 - 2x = 2x(x-1)$. Теперь ищем $НОД(A', 2x(x-1))$. Для этого достаточно проверить, делится ли $A'$ на $x$ и на $x-1$. При $x=0$, $A'(0) = -1 \neq 0$, так что $x$ не является делителем $A'$. При $x=1$, $A'(1) = 1 - 1 - 1 + 2 - 1 = 0$, так что $(x-1)$ является делителем $A'$. Таким образом, $НОД(A', 2x(x-1))$ может быть равен $x-1$ (с точностью до константы). Чтобы убедиться в этом, разложим $A'$ и $B'$ на множители: $A' = (x-1)(x^3-x+1)$ $B' = x^3(x-1) + (x^2-1) = x^3(x-1) + (x-1)(x+1) = (x-1)(x^3+x+1)$ Общий делитель для $A'$ и $B'$ это $x-1$, так как многочлены $x^3-x+1$ и $x^3+x+1$ взаимно просты (их разность $2x$, но ни один из них не делится на $x$). Значит, $НОД(A', B') = x-1$. Итоговый НОД для $A$ и $B$ равен $x \cdot (x-1) = x^2 - x$. Ответ: $x^2 - x$.

г) Даны многочлены $A = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x$ и $B = x^2 - 4x + 3$. Проще всего начать с разложения на множители многочлена меньшей степени $B$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Следовательно, $B = (x-1)(x-3)$. Наибольший общий делитель многочленов $A$ и $B$ должен быть делителем $B$. Проверим, делится ли $A$ на множители $(x-1)$ и $(x-3)$. Для этого подставим корни $B$ в многочлен $A$: $A(1) = 1^4 - 5(1)^3 + 7(1)^2 - 3(1) = 1 - 5 + 7 - 3 = 0$. $A(3) = 3^4 - 5(3)^3 + 7(3)^2 - 3(3) = 81 - 5 \cdot 27 + 7 \cdot 9 - 9 = 81 - 135 + 63 - 9 = 144 - 144 = 0$. Поскольку оба корня многочлена $B$ являются и корнями многочлена $A$, то многочлен $A$ делится на $B$ без остатка. Для подтверждения можно выполнить деление в столбик: $(x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x) \div (x^2 - 4x + 3) = x^2 - x$. Остаток от деления равен 0. Это означает, что $A = (x^2 - x) \cdot B$. Так как многочлен $A$ является кратным многочлену $B$, их наибольший общий делитель равен $B$. Ответ: $x^2 - 4x + 3$.