Номер 620, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 620, страница 161.

Условие.

620. Упростите выражение:

а) $\frac{2a^{-2}}{3 - a^{-2}} - \frac{2a^{-2}}{3 + a^{-2}}$ и найдите его значение при $a = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$;

б) $\frac{2a^{-2}}{1 - a^{-2}} + \frac{2a^{-2}}{1 + a^{-2}}$ и найдите его значение при $a = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1}$;

в) $\left(\frac{a^{-2}}{2 - a^{-2}}\right)^{-2} - \left(\frac{a^{-2}}{2 + a^{-2}}\right)^{-2}$ и найдите его значение при $a = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$;

г) $\left(\frac{2a^{-2}}{5 - a^{-2}}\right)^{-2} - \left(\frac{2a^{-2}}{5 + a^{-2}}\right)^{-2}$ и найдите его значение при $a = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Упростим выражение $\frac{2a^{-2}}{3 - a^{-2}} - \frac{2a^{-2}}{3 + a^{-2}}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(3 - a^{-2})(3 + a^{-2})$. Это формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, поэтому знаменатель равен $3^2 - (a^{-2})^2 = 9 - a^{-4}$.

$\frac{2a^{-2}(3 + a^{-2}) - 2a^{-2}(3 - a^{-2})}{(3 - a^{-2})(3 + a^{-2})} = \frac{(6a^{-2} + 2a^{-4}) - (6a^{-2} - 2a^{-4})}{9 - a^{-4}}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6a^{-2} + 2a^{-4} - 6a^{-2} + 2a^{-4}}{9 - a^{-4}} = \frac{4a^{-4}}{9 - a^{-4}}$

Теперь найдем значение этого выражения при $a = (\frac{1}{2})^{-1}$.

Сначала вычислим значение $a$: $a = (\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$.

Подставим $a=2$ в упрощенное выражение. Для этого найдем значение $a^{-4}$: $a^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.

$\frac{4 \cdot \frac{1}{16}}{9 - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{4}{16}}{\frac{144}{16} - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{143}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{143} = \frac{4}{143}$.

Ответ: $\frac{4}{143}$.

б) Упростим выражение $\frac{2a^{-2}}{1 - a^{-2}} + \frac{2a^{-2}}{1 + a^{-2}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - a^{-2})(1 + a^{-2})$, который по формуле разности квадратов равен $1^2 - (a^{-2})^2 = 1 - a^{-4}$.

$\frac{2a^{-2}(1 + a^{-2}) + 2a^{-2}(1 - a^{-2})}{(1 - a^{-2})(1 + a^{-2})} = \frac{(2a^{-2} + 2a^{-4}) + (2a^{-2} - 2a^{-4})}{1 - a^{-4}}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2a^{-2} + 2a^{-4} + 2a^{-2} - 2a^{-4}}{1 - a^{-4}} = \frac{4a^{-2}}{1 - a^{-4}}$

Теперь найдем значение этого выражения при $a = (\frac{1}{5})^{-1}$.

Сначала вычислим значение $a$: $a = (\frac{1}{5})^{-1} = 5^1 = 5$.

Подставим $a=5$ в упрощенное выражение. Найдем значения $a^{-2}$ и $a^{-4}$: $a^{-2} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$ и $a^{-4} = 5^{-4} = \frac{1}{625}$.

$\frac{4 \cdot \frac{1}{25}}{1 - \frac{1}{625}} = \frac{\frac{4}{25}}{\frac{625}{625} - \frac{1}{625}} = \frac{\frac{4}{25}}{\frac{624}{625}} = \frac{4}{25} \cdot \frac{625}{624} = \frac{4 \cdot 25}{624} = \frac{100}{624}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{100 \div 4}{624 \div 4} = \frac{25}{156}$.

Ответ: $\frac{25}{156}$.

в) Упростим выражение $(\frac{a^{-2}}{2 - a^{-2}})^{-2} - (\frac{a^{-2}}{2 + a^{-2}})^{-2}$.

Воспользуемся свойством степени $(x/y)^{-n} = (y/x)^n$, чтобы избавиться от отрицательного показателя степени:

$(\frac{2 - a^{-2}}{a^{-2}})^{2} - (\frac{2 + a^{-2}}{a^{-2}})^{2}$

Это выражение является разностью квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = \frac{2 - a^{-2}}{a^{-2}}$ и $B = \frac{2 + a^{-2}}{a^{-2}}$.

Найдем $A-B$ и $A+B$:

$A-B = \frac{2 - a^{-2}}{a^{-2}} - \frac{2 + a^{-2}}{a^{-2}} = \frac{2 - a^{-2} - 2 - a^{-2}}{a^{-2}} = \frac{-2a^{-2}}{a^{-2}} = -2$.

$A+B = \frac{2 - a^{-2}}{a^{-2}} + \frac{2 + a^{-2}}{a^{-2}} = \frac{2 - a^{-2} + 2 + a^{-2}}{a^{-2}} = \frac{4}{a^{-2}} = 4a^2$.

Теперь перемножим полученные выражения: $(A-B)(A+B) = (-2)(4a^2) = -8a^2$.

Найдем значение выражения при $a = (\frac{1}{2})^{-2}$.

Вычислим $a$: $a = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Подставим $a=4$ в упрощенное выражение: $-8a^2 = -8 \cdot (4^2) = -8 \cdot 16 = -128$.

Ответ: -128.

г) Упростим выражение $(\frac{2a^{-2}}{5 - a^{-2}})^{-2} - (\frac{2a^{-2}}{5 + a^{-2}})^{-2}$.

Применим свойство степени $(x/y)^{-n} = (y/x)^n$:

$(\frac{5 - a^{-2}}{2a^{-2}})^{2} - (\frac{5 + a^{-2}}{2a^{-2}})^{2}$

Это выражение является разностью квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = \frac{5 - a^{-2}}{2a^{-2}}$ и $B = \frac{5 + a^{-2}}{2a^{-2}}$.

Найдем $A-B$ и $A+B$:

$A-B = \frac{5 - a^{-2}}{2a^{-2}} - \frac{5 + a^{-2}}{2a^{-2}} = \frac{5 - a^{-2} - 5 - a^{-2}}{2a^{-2}} = \frac{-2a^{-2}}{2a^{-2}} = -1$.

$A+B = \frac{5 - a^{-2}}{2a^{-2}} + \frac{5 + a^{-2}}{2a^{-2}} = \frac{5 - a^{-2} + 5 + a^{-2}}{2a^{-2}} = \frac{10}{2a^{-2}} = \frac{5}{a^{-2}} = 5a^2$.

Перемножим полученные выражения: $(A-B)(A+B) = (-1)(5a^2) = -5a^2$.

Найдем значение выражения при $a = (\frac{1}{2})^{-2}$.

Вычислим $a$: $a = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Подставим $a=4$ в упрощенное выражение: $-5a^2 = -5 \cdot (4^2) = -5 \cdot 16 = -80$.

Ответ: -80.