Номер 618, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 618, страница 161.

Условие.

618. Вычислите:

а) $\frac{2000^{-3} - 1999^{-3}}{2000^{-2} + 2000^{-1} \cdot 1999^{-1} + 1999^{-2}}$;

б) $\frac{1222^{-3} + 777^{-3}}{1222^{-2} - 1222^{-1} \cdot 777^{-1} + 777^{-2}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Рассмотрим выражение: $$ \frac{2000^{-3} - 1999^{-3}}{2000^{-2} + 2000^{-1} \cdot 1999^{-1} + 1999^{-2}} $$

Для упрощения введем замену. Пусть $a = 2000^{-1}$ и $b = 1999^{-1}$. Тогда числитель примет вид $a^3 - b^3$, а знаменатель — $a^2 + ab + b^2$.

Все выражение можно переписать как: $$ \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $$

Применим формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Подставим эту формулу в наше выражение и сократим дробь: $$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} = a-b $$

Теперь вернемся к исходным переменным, выполнив обратную замену: $$ a - b = 2000^{-1} - 1999^{-1} $$

Вычислим значение этого выражения: $$ \frac{1}{2000} - \frac{1}{1999} = \frac{1999 - 2000}{2000 \cdot 1999} = \frac{-1}{3998000} $$

Ответ: $-\frac{1}{3998000}$.

б) Рассмотрим выражение: $$ \frac{1222^{-3} + 777^{-3}}{1222^{-2} - 1222^{-1} \cdot 777^{-1} + 777^{-2}} $$

Аналогично предыдущему пункту, введем замену. Пусть $a = 1222^{-1}$ и $b = 777^{-1}$. Тогда числитель станет $a^3 + b^3$, а знаменатель — $a^2 - ab + b^2$.

Выражение примет вид: $$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} $$

Применим формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Подставим эту формулу и сократим дробь: $$ \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2} = a+b $$

Выполним обратную замену: $$ a+b = 1222^{-1} + 777^{-1} $$

Вычислим значение: $$ \frac{1}{1222} + \frac{1}{777} = \frac{777 + 1222}{1222 \cdot 777} = \frac{1999}{949494} $$

Ответ: $\frac{1999}{949494}$.