Номер 619, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8.4. Преобразование рациональных выражений. Параграф 8. Степень с целым показателем. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 619, страница 161.

Условие.

619. Упростите выражение:

а) $\frac{\frac{2a}{1-a}}{1 - \left(\frac{1-a}{2a}\right)^{-1}}$;

б) $\frac{\frac{2a}{2-a}}{2 - \left(\frac{2-a}{2a}\right)^{-1}}$;

в) $\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3}\right)^{-1} + \left(\frac{3}{x+3} - \frac{3}{x}\right)^{-1}$;

г) $\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}\right)^{-1} + \left(\frac{4}{x-1} - \frac{4}{x}\right)^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Исходное выражение: $ \frac{\frac{2a}{1-a}}{1 - (\frac{1-a}{2a})^{-1}} $.
Сначала упростим знаменатель. По свойству степени $ (x)^{-1} = \frac{1}{x} $, выражение в скобках в знаменателе можно переписать так:
$ (\frac{1-a}{2a})^{-1} = \frac{2a}{1-a} $.
Теперь подставим это обратно в знаменатель исходного выражения:
$ 1 - \frac{2a}{1-a} $.
Приведем к общему знаменателю $ (1-a) $:
$ \frac{1 \cdot (1-a)}{1-a} - \frac{2a}{1-a} = \frac{1-a-2a}{1-a} = \frac{1-3a}{1-a} $.
Теперь все выражение представляет собой деление двух дробей:
$ \frac{\frac{2a}{1-a}}{\frac{1-3a}{1-a}} $.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$ \frac{2a}{1-a} \cdot \frac{1-a}{1-3a} $.
Сокращаем общий множитель $ (1-a) $ в числителе и знаменателе (при условии $ a \neq 1 $):
$ \frac{2a}{1-3a} $.

Ответ: $ \frac{2a}{1-3a} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{\frac{2a}{2-a}}{2 - (\frac{2-a}{2a})^{-1}} $.
Упростим выражение в скобках в знаменателе, используя свойство отрицательной степени:
$ (\frac{2-a}{2a})^{-1} = \frac{2a}{2-a} $.
Подставим это в знаменатель:
$ 2 - \frac{2a}{2-a} $.
Приведем к общему знаменателю $ (2-a) $:
$ \frac{2 \cdot (2-a)}{2-a} - \frac{2a}{2-a} = \frac{4-2a-2a}{2-a} = \frac{4-4a}{2-a} = \frac{4(1-a)}{2-a} $.
Теперь разделим числитель исходного выражения на полученный знаменатель:
$ \frac{\frac{2a}{2-a}}{\frac{4(1-a)}{2-a}} = \frac{2a}{2-a} \cdot \frac{2-a}{4(1-a)} $.
Сокращаем общий множитель $ (2-a) $ (при условии $ a \neq 2 $):
$ \frac{2a}{4(1-a)} $.
Сокращаем дробь на 2:
$ \frac{a}{2(1-a)} $.

Ответ: $ \frac{a}{2(1-a)} $

в)

Исходное выражение: $ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3})^{-1} + (\frac{3}{x+3} - \frac{3}{x})^{-1} $.
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3})^{-1} $.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ x(x+3) $:
$ \frac{1(x+3) - 1x}{x(x+3)} = \frac{x+3-x}{x(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)} $.
Теперь возведем в степень -1:
$ (\frac{3}{x(x+3)})^{-1} = \frac{x(x+3)}{3} $.
Второе слагаемое: $ (\frac{3}{x+3} - \frac{3}{x})^{-1} $.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ x(x+3) $:
$ \frac{3x - 3(x+3)}{x(x+3)} = \frac{3x-3x-9}{x(x+3)} = \frac{-9}{x(x+3)} $.
Возведем в степень -1:
$ (\frac{-9}{x(x+3)})^{-1} = \frac{x(x+3)}{-9} = -\frac{x(x+3)}{9} $.
Теперь сложим результаты:
$ \frac{x(x+3)}{3} - \frac{x(x+3)}{9} $.
Приведем к общему знаменателю 9:
$ \frac{3 \cdot x(x+3)}{9} - \frac{x(x+3)}{9} = \frac{3x(x+3) - x(x+3)}{9} = \frac{2x(x+3)}{9} $.

Ответ: $ \frac{2x(x+3)}{9} $

г)

Исходное выражение: $ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1})^{-1} + (\frac{4}{x-1} - \frac{4}{x})^{-1} $.
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.
Первое слагаемое: $ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1})^{-1} $.
Приводим к общему знаменателю $ x(x-1) $:
$ \frac{1(x-1) - 1x}{x(x-1)} = \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} $.
Возводим в степень -1:
$ (\frac{-1}{x(x-1)})^{-1} = \frac{x(x-1)}{-1} = -x(x-1) $.
Второе слагаемое: $ (\frac{4}{x-1} - \frac{4}{x})^{-1} $.
Приводим к общему знаменателю $ x(x-1) $:
$ \frac{4x - 4(x-1)}{x(x-1)} = \frac{4x-4x+4}{x(x-1)} = \frac{4}{x(x-1)} $.
Возводим в степень -1:
$ (\frac{4}{x(x-1)})^{-1} = \frac{x(x-1)}{4} $.
Теперь сложим полученные выражения:
$ -x(x-1) + \frac{x(x-1)}{4} $.
Вынесем общий множитель $ x(x-1) $ за скобки:
$ x(x-1) (-1 + \frac{1}{4}) = x(x-1) (-\frac{3}{4}) = -\frac{3x(x-1)}{4} $.

Ответ: $ -\frac{3x(x-1)}{4} $