Страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

631. Исследуем.

а) С помощью треугольника Паскаля запишите в стандартном виде шестую и седьмую степень двучлена $(a + b)$.

б) Убедитесь, что сумма чисел $n$-й строки треугольника Паскаля равна $2^n$. Выполните проверку от $n = 1$ до $n = 10$.

а) Для нахождения коэффициентов в разложении двучлена $(a+b)$ в степень $n$ используется треугольник Паскаля. Каждое число в треугольнике равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Крайние числа в каждой строке равны 1. Номер строки $n$ (начиная с $n=0$) соответствует степени двучлена.

Построим треугольник Паскаля до 7-й строки включительно:
$n=0$: 1
$n=1$: 1 1
$n=2$: 1 2 1
$n=3$: 1 3 3 1
$n=4$: 1 4 6 4 1
$n=5$: 1 5 10 10 5 1
$n=6$: 1 6 15 20 15 6 1
$n=7$: 1 7 21 35 35 21 7 1

Используя коэффициенты из строки $n=6$, запишем разложение для $(a+b)^6$:

$(a+b)^6 = 1 \cdot a^6b^0 + 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 + 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 + 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot a^0b^6$

В стандартном виде это выглядит так:

$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

Используя коэффициенты из строки $n=7$, запишем разложение для $(a+b)^7$:

$(a+b)^7 = 1 \cdot a^7b^0 + 7 \cdot a^6b^1 + 21 \cdot a^5b^2 + 35 \cdot a^4b^3 + 35 \cdot a^3b^4 + 21 \cdot a^2b^5 + 7 \cdot a^1b^6 + 1 \cdot a^0b^7$

В стандартном виде это выглядит так:

$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

Ответ: $(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$;
$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$.

б) Свойство, согласно которому сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля равна $2^n$, следует из формулы бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$

Коэффициенты $C_n^k$ и есть числа, стоящие в $n$-й строке треугольника Паскаля. Если в этой формуле положить $x=1$ и $y=1$, то получим:

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (1)^k$

$2^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$

Это доказывает, что сумма всех чисел в $n$-й строке (то есть сумма всех биномиальных коэффициентов для данной степени $n$) равна $2^n$.

Выполним проверку для $n$ от 1 до 10. Для этого нам понадобятся строки треугольника Паскаля до 10-й.

Проверка:
Для $n=1$: $1+1=2=2^1$
Для $n=2$: $1+2+1=4=2^2$
Для $n=3$: $1+3+3+1=8=2^3$
Для $n=4$: $1+4+6+4+1=16=2^4$
Для $n=5$: $1+5+10+10+5+1=32=2^5$
Для $n=6$: $1+6+15+20+15+6+1=64=2^6$
Для $n=7$: $1+7+21+35+35+21+7+1=128=2^7$
Для $n=8$ (строка 1 8 28 56 70 56 28 8 1): $1+8+28+56+70+56+28+8+1=256=2^8$
Для $n=9$ (строка 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1): $1+9+36+84+126+126+84+36+9+1=512=2^9$
Для $n=10$ (строка 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1): $1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=1024=2^{10}$

Ответ: Проверка для $n$ от 1 до 10 подтверждает, что сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля равна $2^n$.

632. Ищем информацию.

а) Используя справочную литературу и Интернет, выясните, когда и у каких народов появились первые упоминания об арифметическом треугольнике и как он называется в Иране, в Китае. Какими ещё свойствами обладают числа треугольника Паскаля?

б) Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение об И. Ньютоне и о задачах его «Всеобщей арифметики».

а)

Арифметический треугольник, который в большинстве стран мира известен как треугольник Паскаля, имеет долгую и богатую историю, уходящую вглубь веков и охватывающую разные цивилизации, задолго до работ французского учёного Блеза Паскаля.

Первые известные упоминания об этой числовой структуре встречаются в Индии. Примерно во II веке до н.э. индийский математик Пингала в своем труде «Чандах-шастра», посвященном санскритской просодии (стихосложению), описал правила для нахождения числа комбинаций слогов, которые по сути являются биномиальными коэффициентами и образуют этот треугольник.

Значительно позже, около 1000 года н.э., треугольник изучался в странах исламского мира. Персидский математик Аль-Караджи описал его в своих работах. Наиболее известным исследователем треугольника в этом регионе является персидский поэт и учёный Омар Хайям (XI век). Он подробно изучил его свойства, включая связь с разложением бинома $(a+b)^n$. Поэтому в Иране и некоторых других странах этот треугольник носит название «треугольник Хайяма».

Почти в то же время треугольник был известен и в Китае. В XI веке математик Цзя Сянь использовал его для извлечения квадратных и кубических корней. В XIII веке другой китайский математик, Ян Хуэй, подробно описал треугольник в своих трудах, приведя его изображение до шестой строки. В связи с его вкладом в Китае этот треугольник называют «треугольником Ян Хуэя».

В Европе треугольник стал широко известен после публикации Блезом Паскалем в 1665 году «Трактата об арифметическом треугольнике», где были систематизированы его свойства и показаны применения в теории вероятностей.

Числа в треугольнике Паскаля обладают множеством удивительных свойств:

• Симметрия. Треугольник симметричен относительно вертикальной оси. Числа в каждой строке читаются одинаково слева направо и справа налево. Это является следствием свойства биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
• Сумма элементов строки. Сумма чисел, стоящих в n-й строке (нумерация строк начинается с 0), равна $2^n$. Например, для 4-й строки (1 4 6 4 1) сумма равна $1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$.
• Степени числа 11. Если рассматривать числа в строке как цифры одного числа, то первые несколько строк представляют собой степени числа 11: $11^0=1$, $11^1=11$, $11^2=121$, $11^3=1331$, $11^4=14641$.
• Числа Фибоначчи. Если суммировать числа вдоль «восходящих» диагоналей, то получатся числа из последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...).
• Биномиальные коэффициенты. Это основное свойство. Числа в n-й строке являются коэффициентами в разложении бинома $(a+b)^n$. Число, стоящее в k-й позиции n-й строки (нумерация с 0), равно биномиальному коэффициенту $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• Свойство «хоккейной клюшки». Сумма всех чисел, идущих подряд вдоль диагонали, начиная с самого края (с единицы), равна числу, стоящему в следующей строке и на соседней диагонали. Например, $1+3+6+10=20$. Формально: $\sum_{i=r}^n C_i^r = C_{n+1}^{r+1}$.
• Фрактальная структура. Если в треугольнике Паскаля раскрасить все нечетные числа в один цвет, а четные — в другой, то получится узор, который при увеличении числа строк стремится к известному фракталу — треугольнику Серпинского.

Ответ: Первые упоминания арифметического треугольника встречаются в Индии (II в. до н.э.), позже он изучался в Персии (Иране) и Китае. В Иране он известен как «треугольник Хайяма», в Китае — «треугольник Ян Хуэя». Среди его свойств — симметричность, сумма чисел в n-й строке равна $2^n$, связь с биномиальными коэффициентами, числами Фибоначчи и фракталами.

б)

Сэр Исаак Ньютон (1643–1727) — великий английский учёный, заложивший основы современного естествознания. Он был физиком, математиком, астрономом и философом. Его вклад в науку огромен и многогранен.

• В физике Ньютон сформулировал три фундаментальных закона механики (законы Ньютона) и открыл закон всемирного тяготения. Эти открытия были изложены в его главном труде «Математические начала натуральной философии» (1687), который стал основой классической механики.
• В области оптики он доказал, что белый свет состоит из спектра цветов, и сконструировал первый зеркальный телескоп (рефлектор).
• В математике Ньютон, независимо от Готфрида Лейбница, разработал дифференциальное и интегральное исчисление — мощнейший инструмент для исследования функций и решения физических задач. Он также обобщил формулу бинома на случай дробных и отрицательных показателей (бином Ньютона).

Труд Исаака Ньютона «Всеобщая арифметика» («Arithmetica Universalis») был опубликован в 1707 году. Он представляет собой сборник лекций по алгебре, которые Ньютон читал в Кембриджском университете. Главная цель книги — научить искусству решения задач путем их перевода на язык алгебры.

В этой книге Ньютон собрал большое количество разнообразных задач и показал, как их можно решить, составив одно или несколько уравнений. По сути, это был учебник по применению алгебры к реальным жизненным ситуациям. Задачи в книге можно разделить на несколько типов:

• Задачи на движение: классические задачи о путниках, которые движутся навстречу друг другу или вдогонку, с разными скоростями и из разных пунктов.
• Задачи на совместную работу: например, "если писец за 8 дней может написать 15 листов, то сколько потребуется писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?".
• Задачи на проценты, смеси и сплавы: вычисление стоимости товаров, процентного содержания веществ в смесях.
• Геометрические задачи: нахождение сторон и площадей фигур по известным соотношениям между их элементами. Например, найти катеты прямоугольного треугольника, зная его периметр и площадь.

Ньютон подчёркивал, что решение любой задачи состоит из двух этапов: сначала нужно «перевести» условие задачи с обычного языка на язык математических уравнений, а затем решить полученные уравнения. «Всеобщая арифметика» демонстрировала универсальность алгебраического метода для решения широкого круга проблем, что и отражено в её названии.

Ответ: Исаак Ньютон — великий английский учёный, автор законов механики и закона всемирного тяготения, один из создателей математического анализа. Его книга «Всеобщая арифметика» является учебником по алгебре, в котором на примере множества задач (на движение, работу, геометрию) показано, как переводить условия реальных проблем на язык математических уравнений и решать их.